Exercício 1. Quais das seguintes aplicações entre os correspondentes espaços vetoriais reais, são transformações lineares?
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), dada por T(x, y, z)=\left(\begin{array}{rr}1 & -y \\\ x & 0\end{array}\right), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pergunta se a aplicação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow M_{2\times2}(\mathbb{R}) definida por
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}1 & -y \\[4pt] x & 0\end{pmatrix}
é uma transformação linear. Informações dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: M_{2\times2}(\mathbb{R}).
  • Regra: a entrada (x,y,z) é enviada para a matriz acima. Observação útil: a coordenada \,z não aparece na expressão de T.
    A pergunta é: T satisfaz as propriedades de linearidade (sim ou não)?]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser transformação linear — isto é importante para saber o que testar na prova.
Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(c\,u)=c\,T(u)
A primeira é a propriedade de aditividade (preserva soma) e a segunda é homogeneidade (preserva multiplicação por escalar). Uma consequência imediata e muito prática para testar linearidade é que, se T for linear, então
T(0)=0,
onde o primeiro 0 é o vetor nulo do domínio e o segundo é a matriz zero em M_{2\times2}(\mathbb{R}). A demonstração curta dessa consequência é:
T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0,
para qualquer v do domínio. Em provas rápidas, verificar T(0)=0 é um teste simples: se falhar, a aplicação não é linear.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste fácil: calcular T(0,0,0).
T(0,0,0)=\begin{pmatrix}1 & -0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz zero em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Como T(0,0,0) não é a matriz zero (o elemento (1,1) vale \,1), concluímos que a condição necessária T(0)=0 falha, logo T não pode ser linear.]

Passo 4

Para fixar a ideia e mostrar explicitamente uma propriedade que falha, vejamos a homogeneidade com um contraexemplo numérico. Tome v=(0,0,0) e c=2. Então
T(2v)=T(0,0,0)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
enquanto
2\,T(v)=2\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Como T(2v)\neq 2\,T(v), a propriedade T(cu)=cT(u) falha também em geral. Isso confirma de maneira direta que T não é linear.]

Resposta

A aplicação T não é linear.

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