Exercício 1. Quais das seguintes aplicações entre os correspondentes espaços vetoriais reais, são transformações lineares?
, dada por
, para
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Informações dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra: a entrada
é enviada para a matriz acima. Observação útil: a coordenada não aparece na expressão de .
A pergunta é:satisfaz as propriedades de linearidade (sim ou não)?]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser transformação linear — isto é importante para saber o que testar na prova.
Uma aplicação entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
do domínio e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma aplicação
A primeira é a propriedade de aditividade (preserva soma) e a segunda é homogeneidade (preserva multiplicação por escalar). Uma consequência imediata e muito prática para testar linearidade é que, se
for linear, então
onde o primeiro
é o vetor nulo do domínio e o segundo é a matriz zero em
. A demonstração curta dessa consequência é:
para qualquer
do domínio. Em provas rápidas, verificar
é um teste simples: se falhar, a aplicação não é linear.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste fácil: calcular
.
A matriz zero em
é
Como
não é a matriz zero (o elemento
vale
), concluímos que a condição necessária
falha, logo
não pode ser linear.]
Passo 4
Para fixar a ideia e mostrar explicitamente uma propriedade que falha, vejamos a homogeneidade com um contraexemplo numérico. Tome
e
. Então
enquanto
Como
, a propriedade
falha também em geral. Isso confirma de maneira direta que
não é linear.]
Resposta
A aplicação
não é linear.