Exercício 3. Encontre os autovalores e autovetores de T nos seguintes casos:
V=\mathbb{R}^{2} e T(x, y)=(-x,-y).

Passo 1

O enunciado pede que encontremos os autovalores e os autovetores do operador linear T definido em V=\mathbb{R}^{2} por
T(x,y)=(-x,-y).
Informações dadas:
V=\mathbb{R}^{2},
T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y)=(-x,-y).
Perguntas a responder:
  • Quais são os autovalores \lambda de T?
  • Quais são os autovetores de T (ou seja, toda a descrição dos vetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v)?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar bem o que significa ser autovalor e autovetor (explicação didática).
Um escalar \lambda é autovalor de T se existe um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^{2} tal que
T(v)=\lambda v.
Esse vetor v é então um autovetor associado a \lambda. Em componentes, se v=(x,y), a equação fica
T(x,y)=\lambda(x,y).
Nosso trabalho: substituir T(x,y)=(-x,-y) nessa igualdade e resolver para \lambda e para os vetores (x,y) não-nulos.

Passo 3

Escrevendo a condição de autovalor/autovetor em componentes:
(-x,-y)=\lambda(x,y).
Isto é equivalente ao sistema de equações escalares
-x=\lambda x,
-y=\lambda y.
Vamos analisar esse sistema cuidadosamente para encontrar todos os \lambda que permitem existência de vetor não-nulo (x,y).

Passo 4

Analisando cada equação:
A equação -x=\lambda x pode ser reescrita como
(-1-\lambda)x=0.
Analogamente, -y=\lambda y
(-1-\lambda)y=0.
Essas equações implicam que, para cada coordenada, ou o fator (-1-\lambda) é zero, ou a coordenada correspondente é zero.
Para existir um autovetor não-nulo (x,y) devemos ter que pelo menos uma das coordenadas x ou y seja não-nula. Se (-1-\lambda)\neq 0, então pelas duas equações teríamos x=0 e y=0, o que dá só o vetor nulo — não serve. Portanto, para existir vetor não-nulo é necessário que
-1-\lambda=0,
ou seja
\lambda=-1.

Passo 5

Verificamos agora que \lambda=-1 funciona: se \lambda=-1 então a condição T(x,y)=\lambda(x,y) fica
(-x,-y)=(-1)(x,y)=(-x,-y),
que é verdadeira para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo, para \lambda=-1 qualquer vetor (x,y) satisfaz a igualdade; portanto todo vetor não-nulo é um autovetor associado a \lambda=-1.
Em linguagem de subespaços: o subespaço próprio (autoespaço) correspondente a \lambda=-1 é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid T(x,y)=-1\cdot(x,y)\}=\mathbb{R}^{2}.
Ou seja, a dimensão do autespaço é 2 (todos os vetores), e todos os vetores não-nulos são autovetores.

Passo 6

Para completar, podemos ver a matriz que representa T na base canônica: é a matriz -I_{2} (menos a matriz identidade). A polinômio característico dessa matriz é
\det(\lambda I_2 - (-I_2))=\det((\lambda+1)I_2)=(\lambda+1)^2,
o que confirma que o único autovalor (com multiplicidade algébrica 2) é \lambda=-1. A multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) é 2, igual à dimensão do espaço.

Resposta

\lambda=-1.\nAutovetores: todos os vetores (x,y)\in\mathbb{R}^{2} com (x,y)\neq(0,0) (ou seja, o autespaço é \mathbb{R}^{2}).

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