Exercício 3. Encontre os autovalores e autovetores de
nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos os autovalores e os autovetores do operador linear
definido em
por
Informações dadas:
Perguntas a responder:
- Quais são os autovalores
de ? - Quais são os autovetores de
(ou seja, toda a descrição dos vetores não nulos tais que )?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar bem o que significa ser autovalor e autovetor (explicação didática).
Um escalar é autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
Um escalar
Esse vetor
é então um autovetor associado a
. Em componentes, se
, a equação fica
Nosso trabalho: substituir
nessa igualdade e resolver para
e para os vetores
não-nulos.
Passo 3
Escrevendo a condição de autovalor/autovetor em componentes:
Isto é equivalente ao sistema de equações escalares
Vamos analisar esse sistema cuidadosamente para encontrar todos os
que permitem existência de vetor não-nulo
.
Passo 4
Analisando cada equação:
A equação pode ser reescrita como
A equação
Analogamente,
dá
Essas equações implicam que, para cada coordenada, ou o fator
é zero, ou a coordenada correspondente é zero.
Para existir um autovetor não-nulo
devemos ter que pelo menos uma das coordenadas
ou
seja não-nula. Se
, então pelas duas equações teríamos
e
, o que dá só o vetor nulo — não serve. Portanto, para existir vetor não-nulo é necessário que
ou seja
Passo 5
Verificamos agora que
funciona: se
então a condição
fica
que é verdadeira para todo
. Logo, para
qualquer vetor
satisfaz a igualdade; portanto todo vetor não-nulo é um autovetor associado a
.
Em linguagem de subespaços: o subespaço próprio (autoespaço) correspondente a
é
Ou seja, a dimensão do autespaço é
(todos os vetores), e todos os vetores não-nulos são autovetores.
Passo 6
Para completar, podemos ver a matriz que representa
na base canônica: é a matriz
(menos a matriz identidade). A polinômio característico dessa matriz é
o que confirma que o único autovalor (com multiplicidade algébrica
) é
. A multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) é
, igual à dimensão do espaço.