Exercício 1. Quais das seguintes aplicações entre os correspondentes espaços vetoriais reais, são transformações lineares?
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), dada por T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}-z & z-y \\ x & 0\end{array}\right), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T\colon \mathbb{R}^{3}\to M_{2\times 2}(\mathbb{R}) definida por
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}-z & z-y \\[4pt] x & 0\end{pmatrix},
para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
A pergunta é: essa aplicação T é uma transformação linear (ou seja, é linear)?]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “transformação linear” de um jeito bem direto e prático. Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se e somente se satisfaz uma destas formas equivalentes:
\text{(i)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha T(u)\quad\text{para todos }u,v\text{ e todo }\alpha\in\mathbb{R},
ou, de forma compacta,
\text{(ii)}\quad T\big(\alpha u+\beta v\big)=\alpha T(u)+\beta T(v)\quad\text{para todos }u,v\text{ e todo }\alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Aqui u,v são vetores em \mathbb{R}^{3} e \alpha,\beta são escalares reais. Vou usar a forma (ii) porque ela permite verificar linearidade de uma só vez.

Passo 3

Uma observação útil (e que costuma facilitar muito na prova) é: se cada coordenada da imagem T(x,y,z) é uma função linear das coordenadas x,y,z (sem termos constantes não nulos nem produtos entre variáveis), então T é linear. Vamos escrever T(x,y,z) como combinação linear de matrizes fixas multiplicadas por x, y e z.
Note que a matriz dada tem entradas que dependem de x,y,z assim:
  • a entrada (1,1) é -z,
  • a entrada (1,2) é z-y,
  • a entrada (2,1) é x,
  • a entrada (2,2) é 0 (constante zero).
Podemos separar as contribuições de x, y e z. Defina as matrizes constantes
A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Então, por inspeção,
xA=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] x & 0\end{pmatrix},\qquad yB=\begin{pmatrix}0 & -y \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad zC=\begin{pmatrix}-z & z \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Somando essas três matrizes obtemos exatamente T(x,y,z):
T(x,y,z)=xA+yB+zC.]

Passo 4

Agora uso a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre matrizes e a aditividade das matrizes para verificar a definição (ii) de linearidade. Tome vetores
u=(x_{1},y_{1},z_{1}),\qquad v=(x_{2},y_{2},z_{2})
e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então
\alpha u+\beta v=(\alpha x_{1}+\beta x_{2},\;\alpha y_{1}+\beta y_{2},\;\alpha z_{1}+\beta z_{2}).
Aplicando T à combinação linear:
T\big(\alpha u+\beta v\big) = (\alpha x_{1}+\beta x_{2})A+(\alpha y_{1}+\beta y_{2})B+(\alpha z_{1}+\beta z_{2})C.
Usando distributividade da multiplicação escalar e associatividade da soma em matrizes:
T\big(\alpha u+\beta v\big) = \alpha(x_{1}A+y_{1}B+z_{1}C)+\beta(x_{2}A+y_{2}B+z_{2}C).
Reconhecendo as expressões entre parênteses como T(u) e T(v), obtemos
T\big(\alpha u+\beta v\big)=\alpha T(u)+\beta T(v).
Isso mostra a propriedade linear para quaisquer u,v e \alpha,\beta. Portanto T é linear.

Passo 5

Complementando com uma verificação direta e rápida dos dois axiomas: para u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2),
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)= (x_1+x_2)A+(y_1+y_2)B+(z_1+z_2)C
= (x_1A+y_1B+z_1C)+(x_2A+y_2B+z_2C)=T(u)+T(v),
e para escalar \lambda,
T(\lambda u)=T(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)=\lambda(x_1A+y_1B+z_1C)=\lambda T(u).
Essas contas são as mesmas ideias do passo anterior escritas separadamente; confirmam que T preserva soma e multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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