Exercício 1. Quais das seguintes aplicações entre os correspondentes espaços vetoriais reais, são transformações lineares?
, dada por
, para
.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
para
.
A pergunta é: essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, é linear)?]
A pergunta é: essa aplicação
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “transformação linear” de um jeito bem direto e prático. Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se e somente se satisfaz uma destas formas equivalentes:
ou, de forma compacta,
Aqui
são vetores em
e
são escalares reais. Vou usar a forma (ii) porque ela permite verificar linearidade de uma só vez.
Passo 3
Uma observação útil (e que costuma facilitar muito na prova) é: se cada coordenada da imagem
é uma função linear das coordenadas
(sem termos constantes não nulos nem produtos entre variáveis), então
é linear. Vamos escrever
como combinação linear de matrizes fixas multiplicadas por
,
e
.
Note que a matriz dada tem entradas que dependem de
assim:
- a entrada
é , - a entrada
é , - a entrada
é , - a entrada
é (constante zero).
Podemos separar as contribuições de
,
e
. Defina as matrizes constantes
Então, por inspeção,
Somando essas três matrizes obtemos exatamente
:
Passo 4
Agora uso a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre matrizes e a aditividade das matrizes para verificar a definição (ii) de linearidade. Tome vetores
e escalares
. Então
Aplicando
à combinação linear:
Usando distributividade da multiplicação escalar e associatividade da soma em matrizes:
Reconhecendo as expressões entre parênteses como
e
, obtemos
Isso mostra a propriedade linear para quaisquer
e
. Portanto
é linear.
Passo 5
Complementando com uma verificação direta e rápida dos dois axiomas: para
e
,
e para escalar
,
Essas contas são as mesmas ideias do passo anterior escritas separadamente; confirmam que
preserva soma e multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.