( \mathbf{2 , 0} pontos) Escolha o máximo de vetores linearmente independentes do conjunto U=\{(2,-1,1,0), (0,1,4,2),(2,-2,-3,-2),(1,1,-1,-1),(2,3,2,0)\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha o maior número possível de vetores linearmente independentes do conjunto
U=\{(2,-1,1,0),\; (0,1,4,2),\; (2,-2,-3,-2),\; (1,1,-1,-1),\; (2,3,2,0)\}.
Informações dadas:
v_1=(2,-1,1,0),\quad v_2=(0,1,4,2),\quad v_3=(2,-2,-3,-2),
v_4=(1,1,-1,-1),\quad v_5=(2,3,2,0).
O objetivo é escolher um subconjunto de U com o máximo de vetores que sejam linearmente independentes (ou seja, o tamanho de uma base do espaço gerado por U).

Passo 2

O que significa “linearmente independentes” (explicação didática e direta): vetores w_1,\dots,w_k são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 w_1+\cdots+\alpha_k w_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Uma técnica prática para escolher o maior número de vetores independentes é montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores dados e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas). As colunas que contêm pivôs (colunas-pivô) na forma escalonada correspondem a vetores linearmente independentes do conjunto original. Vou usar esse método passo a passo.

Passo 3

Monto a matriz 4\times5 cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4,v_5:
M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & -2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 4 & -3 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Agora faço eliminação de Gauss (vou explicar cada operação).]

Passo 4

Primeiro quero um pivô 1 na primeira linha e primeira coluna; a linha 3 já tem 1 na coluna 1, então troco a linha 1 com a linha 3 (operação de troca de linhas):
\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & -2 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Agora elimino as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
  • Linha 2 := Linha 2 + Linha 1 (porque -1+1\cdot1=0),
  • Linha 3 := Linha 3 - 2·Linha 1,
  • Linha 4 já tem 0 na coluna 1.
    Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 5 & -5 & 0 & 5\\[4pt] 0 & -8 & 8 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 2 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uso a entrada 5 em (2,2) como pivô na segunda coluna; divido a linha 2 por 5 para ter pivô 1 (operação de escala):
\text{Linha 2} := \tfrac{1}{5}\text{Linha 2}\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -8 & 8 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 2 & -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Elimino as outras entradas na coluna 2 usando essa linha 2:
  • Linha 1 := Linha 1 - 4·Linha 2,
  • Linha 3 := Linha 3 + 8·Linha 2,
  • Linha 4 := Linha 4 - 2·Linha 2.
    Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

As duas últimas linhas têm zeros nas três primeiras colunas; há pivôs possíveis nas colunas 4 ou 5. A linha 4 tem -1 na coluna 4, então multiplico a linha 4 por -1 para ter pivô 1:
\text{Linha 4} := -1\cdot\text{Linha 4}\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Agora uso a linha 4 (pivô em coluna 4) para eliminar a entrada -1 em (1,4) e a entrada 3 em (3,4):
  • Linha 1 := Linha 1 + 1·Linha 4,
  • Linha 3 := Linha 3 - 3·Linha 4.
    Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Na forma escalonada obtida, os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 4. Isso significa que as colunas originais 1,2,4 da matriz M são colunas-pivô, logo os vetores correspondentes
v_1,\; v_2,\; v_4
são linearmente independentes e formam um subconjunto de U com o máximo número de vetores independentes. O posto (rank) da matriz é 3, então não existem 4 vetores independentes em U.

Passo 8

Interpretação final (rápida e motivadora): escolhemos as colunas-pivô porque operações elementares nas linhas não mudam as relações de dependência entre colunas; portanto colunas que mantiveram pivô representam vetores essenciais (independentes). Então a escolha máxima de vetores linearmente independentes em U tem tamanho 3 e pode ser escolhida como \{v_1,v_2,v_4\}.

Resposta

(2,-1,1,0)
(0,1,4,2)
(1,1,-1,-1)

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