( \mathbf{2 , 0} pontos) Escolha o máximo de vetores linearmente independentes do conjunto U=\{(2,-1,1,0), (0,1,4,2),(2,-2,-3,-2),(1,1,-1,-1),(2,3,2,0)\}.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha o maior número possível de vetores linearmente independentes do conjunto
O objetivo é escolher um subconjunto de U com o máximo de vetores que sejam linearmente independentes (ou seja, o tamanho de uma base do espaço gerado por U).
Passo 2
O que significa “linearmente independentes” (explicação didática e direta): vetores w_1,\dots,w_k são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 w_1+\cdots+\alpha_k w_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Uma técnica prática para escolher o maior número de vetores independentes é montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores dados e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas). As colunas que contêm pivôs (colunas-pivô) na forma escalonada correspondem a vetores linearmente independentes do conjunto original. Vou usar esse método passo a passo.
Passo 3
Monto a matriz 4\times5 cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4,v_5:
Agora faço eliminação de Gauss (vou explicar cada operação).]
Passo 4
Primeiro quero um pivô 1 na primeira linha e primeira coluna; a linha 3 já tem 1 na coluna 1, então troco a linha 1 com a linha 3 (operação de troca de linhas):
As duas últimas linhas têm zeros nas três primeiras colunas; há pivôs possíveis nas colunas 4 ou 5. A linha 4 tem -1 na coluna 4, então multiplico a linha 4 por -1 para ter pivô 1:
Na forma escalonada obtida, os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 4. Isso significa que as colunas originais 1,2,4 da matriz M são colunas-pivô, logo os vetores correspondentes
v_1,\; v_2,\; v_4
são linearmente independentes e formam um subconjunto de U com o máximo número de vetores independentes. O posto (rank) da matriz é 3, então não existem 4 vetores independentes em U.
Passo 8
Interpretação final (rápida e motivadora): escolhemos as colunas-pivô porque operações elementares nas linhas não mudam as relações de dependência entre colunas; portanto colunas que mantiveram pivô representam vetores essenciais (independentes). Então a escolha máxima de vetores linearmente independentes em U tem tamanho 3 e pode ser escolhida como \{v_1,v_2,v_4\}.