( \mathbf{2 , 0} pontos) Forneça o máximo de soluções linearmente independentes para o sistema linear:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, com A e \mathbf{x} abaixo:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[3pt]x_{2}\\[3pt]x_{3}\\[3pt]x_{4}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
O que se pede é: fornecer o máximo de soluções linearmente independentes do sistema. Em outras palavras, encontrar uma base do espaço de soluções (o conjunto de todas as \mathbf{x} que satisfazem A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Informações úteis que já temos: número de incógnitas =4 e número de equações =3.]

Passo 2

Vou resolver o sistema usando eliminação de Gauss (operações elementares em linhas). Primeiro troco as linhas R_{1} e R_{2} para começar com uma linha que tem 1 na primeira coluna (facilita os cálculos):
Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{2}.
Matriz após a troca:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Explicação curta sobre operações: trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra e multiplicar uma linha por escalar são operações que não mudam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Elimino a entrada abaixo do pivô da primeira coluna (transformo o elemento em posição (2,1) em zero):
Operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
Calculemos R_{2}: [2,3,1,3]-2[1,1,1,2]=[0,1,-1,-1].
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso o pivô na segunda linha, coluna 2 (que já é 1), para zerar o elemento na coluna 2 da terceira linha:
Operação: R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2}.
Calculemos R_{3}: [0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}]-\tfrac{1}{2}[0,1,-1,-1]=[0,0,0,0].
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Perceba que agora temos uma linha nula; isso indica que o posto (número de linhas não nulas na forma escalonada) é no máximo 2.]

Passo 5

Para ficar mais claro quais são as variáveis básicas, elimino também o coeficiente acima do pivô na coluna 2 (ou seja, zero em posição (1,2)):
Operação: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.
Calculemos R_{1}: [1,1,1,2]-[0,1,-1,-1]=[1,0,2,3].
Ficamos com a forma escalonada final:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpreto as duas primeiras equações (linhas) obtidas:
\begin{aligned} \text{(linha 1):}&\quad x_{1} + 2x_{3} + 3x_{4} = 0,\\[4pt] \text{(linha 2):}&\quad x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0. \end{aligned}
As incógnitas x_{1} e x_{2} são variáveis básicas (determindas pelas equações), enquanto x_{3} e x_{4} são variáveis livres (podem ser escolhidas arbitrariamente). O posto da matriz é 2 (duas linhas não nulas). Pelo teorema da dimensão do núcleo (nullity), o número de graus de liberdade (dimensão do espaço de soluções) é 4-2=2: temos exatamente duas direções independentes de solução.]

Passo 7

Parametrizo as soluções usando parâmetros para as variáveis livres. Tomo x_{3}=s e x_{4}=t, com s,t\in\mathbb{R}. Resolvo para x_{1} e x_{2}:
\begin{aligned} x_{1} &= -2x_{3}-3x_{4} = -2s-3t,\\[4pt] x_{2} &= x_{3}+x_{4} = s+t. \end{aligned}
Portanto o vetor solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[3pt]x_{2}\\[3pt]x_{3}\\[3pt]x_{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2s-3t\\[3pt]s+t\\[3pt]s\\[3pt]t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\[3pt]1\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\[3pt]1\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Conclusão prática: uma base (conjunto máximo de soluções linearmente independentes) do espaço de soluções é dada pelos dois vetores que aparecem como coeficientes de s e t. Eles são linearmente independentes porque correspondem a parâmetros independentes s e t.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\[3pt]1\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix}
\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\[3pt]1\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix}]

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