O que se pede é: fornecer o máximo de soluções linearmente independentes do sistema. Em outras palavras, encontrar uma base do espaço de soluções (o conjunto de todas as \mathbf{x} que satisfazem A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Informações úteis que já temos: número de incógnitas =4 e número de equações =3.]
Passo 2
Vou resolver o sistema usando eliminação de Gauss (operações elementares em linhas). Primeiro troco as linhas R_{1} e R_{2} para começar com uma linha que tem 1 na primeira coluna (facilita os cálculos):
Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{2}.
Matriz após a troca:
Explicação curta sobre operações: trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra e multiplicar uma linha por escalar são operações que não mudam o conjunto de soluções do sistema.]
Passo 3
Elimino a entrada abaixo do pivô da primeira coluna (transformo o elemento em posição (2,1) em zero):
Operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
Calculemos R_{2}: [2,3,1,3]-2[1,1,1,2]=[0,1,-1,-1].
A matriz fica:
Agora uso o pivô na segunda linha, coluna 2 (que já é 1), para zerar o elemento na coluna 2 da terceira linha:
Operação: R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2}.
Calculemos R_{3}: [0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}]-\tfrac{1}{2}[0,1,-1,-1]=[0,0,0,0].
A matriz fica:
Perceba que agora temos uma linha nula; isso indica que o posto (número de linhas não nulas na forma escalonada) é no máximo 2.]
Passo 5
Para ficar mais claro quais são as variáveis básicas, elimino também o coeficiente acima do pivô na coluna 2 (ou seja, zero em posição (1,2)):
Operação: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.
Calculemos R_{1}: [1,1,1,2]-[0,1,-1,-1]=[1,0,2,3].
Ficamos com a forma escalonada final:
As incógnitas x_{1} e x_{2} são variáveis básicas (determindas pelas equações), enquanto x_{3} e x_{4} são variáveis livres (podem ser escolhidas arbitrariamente). O posto da matriz é 2 (duas linhas não nulas). Pelo teorema da dimensão do núcleo (nullity), o número de graus de liberdade (dimensão do espaço de soluções) é 4-2=2: temos exatamente duas direções independentes de solução.]
Passo 7
Parametrizo as soluções usando parâmetros para as variáveis livres. Tomo x_{3}=s e x_{4}=t, com s,t\in\mathbb{R}. Resolvo para x_{1} e x_{2}:
Conclusão prática: uma base (conjunto máximo de soluções linearmente independentes) do espaço de soluções é dada pelos dois vetores que aparecem como coeficientes de s e t. Eles são linearmente independentes porque correspondem a parâmetros independentes s e t.