Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério usual de subespaço: (i) a função zero está em
, (ii)
é fechado sob soma, (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função nula
, dada por
, pertence a
. Para todo
,
logo
. Portanto
.
Passo 3
Testamos fechamento sob soma. Tomemos, por exemplo,
Ambas satisfazem
e
Logo
. Mas
e
em geral. Assim
, ou seja,
não é fechado sob soma.
Passo 4
Podemos também ver falha no fechamento sob escalar. Seja
e tomemos o escalar
. Então
e
. Logo
. Isso confirma que
não é fechado sob multiplicação por escalar.