Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+, \cdot) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\left\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) ; f\left(x^{2}\right)=f(x)^{2}\right., para todo \left.x \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{\,f\in \mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(x^2)=f(x)^2\\ \text{para todo }x\in\mathbb{R}\},
e pergunta se W é um subespaço vetorial de \bigl(\mathcal{F}(\mathbb{R}),+,\cdot\bigr). Para isso, vamos usar o critério usual de subespaço: (i) a função zero está em W, (ii) W é fechado sob soma, (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função nula \mathbf{0}, dada por \mathbf{0}(x)=0, pertence a W. Para todo x,
\mathbf{0}(x^2)=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{0}(x)^2=0^2=0,
logo \mathbf{0}(x^2)=\mathbf{0}(x)^2. Portanto \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Testamos fechamento sob soma. Tomemos, por exemplo,
f(x)=1, \quad g(x)=x^2.
Ambas satisfazem f(x^2)=1=f(x)^2 e
g(x^2)=(x^2)^2=x^4=g(x)^2.
Logo f,g\in W. Mas
(f+g)(x^2)=1 + x^4, \quad (f+g)(x)^2=(1 + x^2)^2=1+2x^2+x^4,
e 1+x^4\neq 1+2x^2+x^4 em geral. Assim f+g\notin W, ou seja, W não é fechado sob soma.

Passo 4

Podemos também ver falha no fechamento sob escalar. Seja h(x)=1\in W e tomemos o escalar \alpha=2. Então
(\alpha\,h)(x^2)=2\cdot 1=2, \quad (\alpha\,h)(x)^2=(2\cdot1)^2=4,
e 2\neq4. Logo 2h\notin W. Isso confirma que W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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