Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço
.
, munido das operações usuais e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
com as operações usuais de soma e produto por escalar. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: conferir se
é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que
não é vazio mostrando que a função nula
pertence a
. De fato,
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então
Como o limite da soma é a soma dos limites, temos
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
implica
Logo
.