Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço \operatorname{vetorial}(V,+, \cdot).
V \doteq C^{\infty}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}), munido das operações usuais e W \doteq\left\{f \in C^{\infty}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) ; \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \bigl\{f\in C^\infty(\mathbb{R};\mathbb{R}) \mid \lim_{x\to+\infty}f(x)=0\bigr\}
é um subespaço vetorial de
V = C^\infty(\mathbb{R};\mathbb{R})
com as operações usuais de soma e produto por escalar. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: conferir se W é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio mostrando que a função nula
f_0(x) = 0,\quad \forall x\in\mathbb{R},
pertence a W. De fato,
\lim_{x\to+\infty}f_0(x) = \lim_{x\to+\infty}0 = 0,
logo f_0\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,g\in W. Então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=0.
Como o limite da soma é a soma dos limites, temos
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) =\lim_{x\to+\infty}f(x)+\lim_{x\to+\infty}g(x) =0+0=0.
Portanto f+g\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in W. Então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
implica
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\alpha\,f(x)\bigr) =\alpha\;\lim_{x\to+\infty}f(x) =\alpha\cdot 0=0.
Logo \alpha f\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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