Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+, \cdot) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) ; f(0)=f(1)\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se
W \doteq \{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(0)=f(1)\}
é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é a definição de subespaço de um espaço vetorial: precisamos verificar que W não é vazio e que é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Recordando a definição, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Para todo f,g\in W, tem-se f+g\in W.
  3. Para todo f\in W e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, tem-se \alpha f\in W.

Passo 3

Verificamos que W não é vazio, exibindo a função zero
f_0(x)=0,\quad \forall x\in\mathbb{R}.
Como f_0(0)=0=f_0(1), vale f_0\in W. Logo, W\neq\emptyset.

Passo 4

Agora, peguemos f,g\in W. Isso significa
f(0)=f(1) \quad\text{e}\quad g(0)=g(1).
Então, para a função soma h=f+g, temos
h(0)=f(0)+g(0) =f(1)+g(1) =h(1).
Logo h\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Finalmente, peguemos f\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Definindo \tilde f=\alpha f,
\tilde f(0)=\alpha f(0) =\alpha f(1) =\tilde f(1).
Logo \alpha f\in W, ou seja, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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