Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pergunta se
é subespaço vetorial de
. O conteúdo aqui é a definição de subespaço de um espaço vetorial: precisamos verificar que
não é vazio e que é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Recordando a definição, um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
-
. - Para todo
, tem-se . - Para todo
e todo escalar , tem-se .
Passo 3
Verificamos que
não é vazio, exibindo a função zero
Como
, vale
. Logo,
.
Passo 4
Agora, peguemos
. Isso significa
Então, para a função soma
, temos
Logo
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 5
Finalmente, peguemos
e
. Definindo
,
Logo
, ou seja,
é fechado sob multiplicação escalar.