Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
. O conteúdo aqui é teste de subespaço vetorial: precisamos lembrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se,
- ele contém o vetor zero de
, - é fechado sob soma,
- é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
(a função nula
) pertence a
. Para isso, veja que para todo
Logo, a função zero não satisfaz
, então
. Isso já impede
de ser subespaço.
Passo 3
Mesmo sem precisar prosseguir, podemos observar outra falha: pegue qualquer
(logo
para todo
) e escalar por um número negativo
. Então
o que não pertence a
. Ou seja,
não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Como
falha já na primeira propriedade (e também na segunda), concluímos que ele não é subespaço vetorial de
.