Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+, \cdot) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(1)=2 f(5)\}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: nosso espaço vetorial é \mathcal{F}(\mathbb{R}), o conjunto de todas as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R} com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. O subconjunto é
W = \bigl\{\,f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(1)=2\,f(5)\bigr\}.
Queremos ver se W é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar o critério padrão: verificar se o vetor zero está em W, se W é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a função zero 0\colon x\mapsto0 pertence a W. De fato,
0(1)=0=2\cdot0=2\,0(5),
logo 0\in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Se f e g estão em W, então
f(1)=2\,f(5) \quad\text{e}\quad g(1)=2\,g(5).
Para a soma h=f+g, temos
h(1)=f(1)+g(1)=2\,f(5)+2\,g(5)=2\bigl(f(5)+g(5)\bigr)=2\,h(5),
portanto h\in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar. Se f\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então
f(1)=2\,f(5).
Considere \alpha f. Então
(\alpha f)(1)=\alpha\,f(1)=\alpha\,(2\,f(5))=2\bigl(\alpha\,f(5)\bigr)=2\,(\alpha f)(5),
logo \alpha f\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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