Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: nosso espaço vetorial é
, o conjunto de todas as funções de
em
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. O subconjunto é
Queremos ver se
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar o critério padrão: verificar se o vetor zero está em
, se
é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que a função zero
pertence a
. De fato,
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Se
e
estão em
, então
Para a soma
, temos
portanto
.
Passo 4
Verificar fechamento sob escalar. Se
e
, então
Considere
. Então
logo
.