Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+, \cdot) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)>0, para todo x \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{\,f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(x)>0\\ \text{para todo }x\in\mathbb{R}\}
é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é teste de subespaço vetorial: precisamos lembrar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
  1. ele contém o vetor zero de V,
  2. é fechado sob soma,
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de \mathcal{F}(\mathbb{R}) (a função nula 0\colon x\mapsto 0) pertence a W. Para isso, veja que para todo x
0(x) = 0 \not> 0.
Logo, a função zero não satisfaz f(x)>0, então 0\notin W. Isso já impede W de ser subespaço.

Passo 3

Mesmo sem precisar prosseguir, podemos observar outra falha: pegue qualquer f\in W (logo f(x)>0 para todo x) e escalar por um número negativo \lambda<0. Então
(\lambda f)(x) = \lambda\cdot f(x) < 0,
o que não pertence a W. Ou seja, W não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Como W falha já na primeira propriedade (e também na segunda), concluímos que ele não é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

Resposta

W não é subespaço vetorial, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação escalar.

Exercícios relacionados