Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço
.
, munido das operações usuais e
para todo
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
dos polinômios de grau ≤ com soma e produto escalar usuais, e o subconjunto
dos polinômios de grau ≤
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar que
, que
é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Se
então
para todo
, o que implica que
é um polinômio constante. Ou seja,
e podemos reescrever
Passo 3
O polinômio zero
tem derivada
, logo
. Portanto
.
Passo 4
Sejam
e
constantes. Então
é constante, logo
e
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 5
Para
e
constante,
é constante, logo
e
. Assim
é fechado sob multiplicação escalar.