Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço \operatorname{vetorial}(V,+, \cdot).
V \doteq \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W \doteq\left\{p \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) ; p^{\prime}(t)=0\right. para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
\displaystyle V = \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R})
dos polinômios de grau ≤ n com soma e produto escalar usuais, e o subconjunto
W = \bigl\{\,p\in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) \mid p'(t)=0\text{ para todo }t\in\mathbb{R}\bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço vetorial de V, precisamos verificar que W\neq\emptyset, que W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Se p\in W então p'(t)=0 para todo t, o que implica que p é um polinômio constante. Ou seja,
p(x)=c \quad\text{para algum }c\in\mathbb{R},
e podemos reescrever
W=\bigl\{\,p\in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) \mid p(x)=c,\;c\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 3

O polinômio zero p(x)=0 tem derivada p'(x)=0, logo 0\in W. Portanto W\neq\emptyset.

Passo 4

Sejam p(x)=c e q(x)=d constantes. Então
(p+q)(x)=c+d
é constante, logo (p+q)'(x)=0 e p+q\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Para \alpha\in\mathbb{R} e p(x)=c constante,
(\alpha p)(x)=\alpha\,c
é constante, logo (\alpha p)'(x)=0 e \alpha p\in W. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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