Exercício 2. Seja
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{3}-2 x^{2}-5 x+6}{x-3}, & \text { se } x<3 \\\ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x+2}, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
Determine se \lim _{x \rightarrow 3} f(x) existe.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{3}-2 x^{2}-5 x+6}{x-3}, & \text{se } x<3,\\[6pt] \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x+2}, & \text{se } x\ge 3,\end{cases}
e pede para determinar se \lim_{x\to 3} f(x) existe.
Informações relevantes do enunciado:
  • A definição de f é diferente à esquerda de x=3 e à direita (e em) x=3.
  • Para x<3 a expressão é uma razão de polinômios com denominador x-3.
  • Para x\ge 3 a expressão envolve uma raiz quadrada no numerador e um denominador x+2.
  • O que se deve determinar é se o limite comum ao aproximar x de 3 pela esquerda e pela direita existe (ou seja, se os limites laterais são iguais).]

Passo 2

Estratégia e conceito principal (explicado de forma didática):
  • Um limite \lim_{x\to 3} f(x) existe se, e somente se, os dois limites laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^+} f(x).
  • Portanto vamos calcular separadamente \lim_{x\to 3^-} f(x) (aproximação por valores menores que 3) e \lim_{x\to 3^+} f(x) (por valores maiores que 3). Se derem o mesmo número, o limite existe e é esse número; se derem números diferentes, o limite não existe.
  • Observação prática: se uma expressão para x próximos de 3 puder ser algébrica e simplificada (por exemplo, cancelando fator x-3), podemos substituir x=3 na expressão simplificada quando ela for contínua naquela vizinhança.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 3^-} f(x) (ramo para x<3).
  • Começamos fatorando o numerador do ramo esquerdo:
x^{3}-2x^{2}-5x+6.
  • Testando raízes inteiras óbvias, x=1 é raiz porque
1^{3}-2\cdot1^{2}-5\cdot1+6 = 1-2-5+6 = 0.
  • Pelo Teorema do Resto / fator, (x-1) é fator. Dividindo o polinômio por (x-1) (ou fazendo fatoração por inspeção) obtemos
x^{3}-2x^{2}-5x+6 = (x-1)(x^{2}-x-6).
  • O quadrático x^{2}-x-6 fatora como
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
  • Assim o numerador fica
x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x-3)(x+2).
  • Para x<3 (e x\neq 3) podemos cancelar o fator (x-3) com o denominador, obtendo a forma simplificada
\frac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x-3}=(x-1)(x+2).
  • Agora a função à esquerda de 3, próxima de 3, é simplesmente o polinômio (x-1)(x+2), que é contínuo. Logo
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3} (x-1)(x+2).
  • Substituindo x=3 nessa expressão contínua:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=(3-1)(3+2)=2\cdot5=10.

Passo 4

Breve explicação didática do porquê do passo anterior:
  • Cancelamos (x-3) porque, para x próximos de 3, mas não iguais a 3, a expressão original é igual à expressão simplificada. Como polinômios são contínuos, o limite da expressão simplificada quando x\to 3 é simplesmente o valor obtido substituindo x=3.
  • Esse procedimento é padrão quando aparece uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}: fatorar e simplificar para remover o fator que causa a indeterminação.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 3^+} f(x) (ramo para x\ge 3).
  • Para x\ge 3 temos a expressão
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x+2}.
  • Verificar se há indeterminação ao substituir x=3: o numerador em x=3 é \sqrt{3+1}-1=\sqrt{4}-1=2-1=1, e o denominador é 3+2=5. Não há indeterminação \tfrac{0}{0}; as partes são finitas e o denominador é diferente de zero.
  • A função \sqrt{x+1} é contínua em x=3 e o denominador x+2 também é contínuo e não nulo em x=3; portanto a razão é contínua em x=3. Logo o limite lateral pela direita é simplesmente o valor da função no ponto:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\frac{\sqrt{3+1}-1}{3+2}=\frac{2-1}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 6

Comparação dos limites laterais e conclusão final.
  • Obtivemos
\lim_{x\to 3^-} f(x)=10 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 3^+} f(x)=\frac{1}{5}.
  • Como 10\neq \dfrac{1}{5}, os limites laterais não coincidem. Pelo critério de existência de limite, o limite \lim_{x\to 3} f(x) NÃO existe.

Resposta

\lim_{x\to 3} f(x) não existe.

Exercícios relacionados