em que e A4=[ll0 & 1 1 & 1].
(a) Escreva a matriz A=[lla & b c & d] como combinação linear das matrizes de B.
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever a matriz A=[rr3 & 9 2 & -1] como combinação linear das matrizes de B.
(c) Utilize novamente o resultado do item (a) para verificar que B é LI.
(d) Conclua que B é uma base do R-espaço vetorial M2(R).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as quatro matrizes
formam uma base de . Para isso, vamos (a) escrever uma matriz genérica como combinação linear de , (b) aplicar esse resultado a , (c) usar a mesma ideia para verificar independência linear e (d) concluir que é base.
Para verificar independência linear, basta repetir o sistema do Passo 2 com a=b=c=d=0. Daí
x1+x3=0,; x1+x4=0,; x2+x4=0,; x2+x3+x4=0
implica x1=x2=x3=x4=0. Logo A1,A2,A3,A4 são LI.
Passo 6
Como M2(R) tem dimensão 4 e A1,A2,A3,A4 é um conjunto de 4 vetores LI que gera todo o espaço, concluímos que é uma base de M2(R).
Resposta
(a) A=(a+c-d),A1+(a-b+2c-d),A2+(d-c),A3+(b-a+d-c),A4
(b) 3&92&-1 =6,A1-1,A2-3,A3+3,A4
(c) A combinação trivial só admite coeficientes nulos, logo são LI.
(d) Sendo 4 vetores LI em espaço de dimensão 4, B é base de M2(R).