Considere o R-espaço vetorial M2(R) e o subconjunto
B=A1, A2, A3, A4
em que A1=[ll1 & 1 0 & 0], A2=[ll0 & 0 1 & 1], A3=[ll1 & 0 0 & 1] e A4=[ll0 & 1 1 & 1].
(a) Escreva a matriz A=[lla & b c & d] como combinação linear das matrizes de B.
(b) Utilize o resultado do item (a) para escrever a matriz A=[rr3 & 9 2 & -1] como combinação linear das matrizes de B.
(c) Utilize novamente o resultado do item (a) para verificar que B é LI.
(d) Conclua que B é uma base do R-espaço vetorial M2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as quatro matrizes
formam uma base de . Para isso, vamos (a) escrever uma matriz genérica como combinação linear de , (b) aplicar esse resultado a , (c) usar a mesma ideia para verificar independência linear e (d) concluir que é base.

Passo 2

Para uma matriz genérica
suponha
Somando termo a termo obtemos o sistema

Passo 3

Resolvendo esse sistema em função de a,b,c,d
x1=a+c-d, x2=a-b+2c-d, x3=d-c, x4=b-a+d-c
Logo
A=(a+c-d),A1+(a-b+2c-d),A2+(d-c),A3+(b-a+d-c),A4

Passo 4

Para A=3&92&-1 temos a=3,b=9,c=2,d=-1. Assim
x1=3+2-(-1)=6, x2=3-9+2cdot2-(-1)=-1, x3=-1-2=-3, x4=9-3+(-1)-2=3
Portanto
3&92&-1 =6,A1-1,A2-3,A3+3,A4

Passo 5

Para verificar independência linear, basta repetir o sistema do Passo 2 com a=b=c=d=0. Daí
x1+x3=0,; x1+x4=0,; x2+x4=0,; x2+x3+x4=0
implica x1=x2=x3=x4=0. Logo A1,A2,A3,A4 são LI.

Passo 6

Como M2(R) tem dimensão 4 e A1,A2,A3,A4 é um conjunto de 4 vetores LI que gera todo o espaço, concluímos que é uma base de M2(R).

Resposta

(a) A=(a+c-d),A1+(a-b+2c-d),A2+(d-c),A3+(b-a+d-c),A4
(b) 3&92&-1 =6,A1-1,A2-3,A3+3,A4
(c) A combinação trivial só admite coeficientes nulos, logo são LI.
(d) Sendo 4 vetores LI em espaço de dimensão 4, B é base de M2(R).

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