Exercício 8. Seja
uma função. Mostre que:
(a) se existe
tal que
, então
é injetora;
(b) se existe
tal que
, então
é sobrejetora;
(c) conclua que
é bijetora se, e somente se, existe
satisfazendo ambas as condições; nesse caso,
.
(a) se existe
(b) se existe
(c) conclua que
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: uma função
. - Pede (a): provar que, se existe
tal que , então é injetora. - Pede (b): provar que, se existe
tal que , então é sobrejetora. - Pede (c): concluir que
é bijetora se, e somente se, existe satisfazendo ambas as condições; e mostrar que, nesse caso, .
Passo 2
Definições e notação explicadas de forma bem clara (para usar nas provas):
- A composição
é a função que, a cada , associa . - A função identidade em
é definida por para todo . -
é injetora (ou injetiva) significa: para quaisquer , se então . -
é sobrejetora (ou sobrejetiva) significa: para todo existe tal que . -
é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. A função inversa (quando existe) será denotada por e satisfaz as igualdades e .
Passo 3
Prova de (a): existência de um “esquerdo-inverso” implica injetividade.
- Hipótese: existe
tal que . - Tomemos
e suponha . Queremos mostrar . - Aplicando
aos dois lados da igualdade obtemos - Pela hipótese
, temos e, analogamente, . Portanto - Conclusão: sempre que
segue , logo é injetora. - Intuição curta:
“cancela” pela esquerda, impedindo que dois elementos distintos de tenham a mesma imagem.
Passo 4
Prova de (b): existência de um “direito-inverso” implica sobrejetividade.
- Hipótese: existe
tal que . - Tomemos um elemento arbitrário
. Queremos encontrar com . - Defina
. Então, aplicando , - Assim para cada
existe com . Logo é sobrejetora. - Intuição curta:
dá, para cada , um preimagem , e a composição garante que essa preimagem realmente mapeia para .
Passo 5
Prova de (c), primeira parte: se
é bijetora então existe
com ambas as propriedades.
- Suponha que
é bijetora (injetora e sobrejetora). - Como
é sobrejetora, para cada existe pelo menos um com . - Como
é injetora, esse é único. Logo a regra "a cada associe o único tal que " define bem uma função . - Verificação das composições:
- Para todo
, , porque devolve o elemento cujo -imagem é . Assim . - Para todo
, pela definição de . Assim .
- Para todo
- Portanto, para
obtemos ambas as igualdades.
Passo 6
Prova de (c), segunda parte: se existe
com ambas as propriedades então
é bijetora e
.
- Hipótese: existe
tal que - Pelos resultados de (a) e (b) isto implica que
é injetora (da primeira igualdade) e sobrejetora (da segunda igualdade). Logo é bijetora. - Resta mostrar que esse
coincide com a inversa (aquela garantida pela bijeção). Seja . Então, definindo , temos Portanto é uma preimagem de sob . Mas como é injetora a preimagem é única, e por definição de essa preimagem única é . Assim . - Como isso vale para todo
, segue . - Observação extra (unicidade): se houver outra função
que também satisfaça e , então pelo mesmo argumento e portanto ; a inversa é única.
Resposta
(a)
é injetora.
(b) é sobrejetora.
(c) é bijetora se, e somente se, existe
tal que
e
; nesse caso
.
(b)
(c)