Exercício 8. Seja f: A \rightarrow B uma função. Mostre que:
(a) se existe g: B \rightarrow A tal que g \circ f=\operatorname{id}_{A}, então f é injetora;
(b) se existe g: B \rightarrow A tal que f \circ g=\operatorname{id}_{B}, então f é sobrejetora;
(c) conclua que f é bijetora se, e somente se, existe g satisfazendo ambas as condições; nesse caso, g=f^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: uma função f: A \to B.
  • Pede (a): provar que, se existe g: B \to A tal que g\circ f=\operatorname{id}_{A}, então f é injetora.
  • Pede (b): provar que, se existe g: B \to A tal que f\circ g=\operatorname{id}_{B}, então f é sobrejetora.
  • Pede (c): concluir que f é bijetora se, e somente se, existe g satisfazendo ambas as condições; e mostrar que, nesse caso, g=f^{-1}.

Passo 2

Definições e notação explicadas de forma bem clara (para usar nas provas):
  • A composição g\circ f é a função que, a cada a\in A, associa (g\circ f)(a)=g(f(a)).
  • A função identidade em A é \operatorname{id}_{A}:A\to A definida por \operatorname{id}_{A}(a)=a para todo a\in A.
  • f é injetora (ou injetiva) significa: para quaisquer x,y\in A, se f(x)=f(y) então x=y.
  • f é sobrejetora (ou sobrejetiva) significa: para todo b\in B existe a\in A tal que f(a)=b.
  • f é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. A função inversa (quando existe) será denotada por f^{-1}:B\to A e satisfaz as igualdades (f^{-1}\circ f)=\operatorname{id}_{A} e (f\circ f^{-1})=\operatorname{id}_{B}.

Passo 3

Prova de (a): existência de um “esquerdo-inverso” implica injetividade.
  • Hipótese: existe g:B\to A tal que g\circ f=\operatorname{id}_{A}.
  • Tomemos x,y\in A e suponha f(x)=f(y). Queremos mostrar x=y.
  • Aplicando g aos dois lados da igualdade f(x)=f(y) obtemos g(f(x))=g(f(y)).
  • Pela hipótese g\circ f=\operatorname{id}_{A}, temos g(f(x))=(g\circ f)(x)=\operatorname{id}_{A}(x)=x e, analogamente, g(f(y))=y. Portanto x=y.
  • Conclusão: sempre que f(x)=f(y) segue x=y, logo f é injetora.
  • Intuição curta: g “cancela” f pela esquerda, impedindo que dois elementos distintos de A tenham a mesma imagem.

Passo 4

Prova de (b): existência de um “direito-inverso” implica sobrejetividade.
  • Hipótese: existe g:B\to A tal que f\circ g=\operatorname{id}_{B}.
  • Tomemos um elemento arbitrário b\in B. Queremos encontrar a\in A com f(a)=b.
  • Defina a=g(b). Então, aplicando f, f(a)=f(g(b))=(f\circ g)(b)=\operatorname{id}_{B}(b)=b.
  • Assim para cada b\in B existe a=g(b)\in A com f(a)=b. Logo f é sobrejetora.
  • Intuição curta: g dá, para cada b\in B, um preimagem a, e a composição garante que essa preimagem realmente mapeia para b.

Passo 5

Prova de (c), primeira parte: se f é bijetora então existe g com ambas as propriedades.
  • Suponha que f é bijetora (injetora e sobrejetora).
  • Como f é sobrejetora, para cada b\in B existe pelo menos um a\in A com f(a)=b.
  • Como f é injetora, esse a é único. Logo a regra "a cada b\in B associe o único a\in A tal que f(a)=b" define bem uma função f^{-1}:B\to A.
  • Verificação das composições:
    • Para todo a\in A, (f^{-1}\circ f)(a)=f^{-1}(f(a))=a, porque f^{-1} devolve o elemento a cujo f-imagem é f(a). Assim f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{A}.
    • Para todo b\in B, (f\circ f^{-1})(b)=f(f^{-1}(b))=b pela definição de f^{-1}. Assim f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{B}.
  • Portanto, para g=f^{-1} obtemos ambas as igualdades.

Passo 6

Prova de (c), segunda parte: se existe g com ambas as propriedades então f é bijetora e g=f^{-1}.
  • Hipótese: existe g:B\to A tal que g\circ f=\operatorname{id}_{A}\quad\text{e}\quad f\circ g=\operatorname{id}_{B}.
  • Pelos resultados de (a) e (b) isto implica que f é injetora (da primeira igualdade) e sobrejetora (da segunda igualdade). Logo f é bijetora.
  • Resta mostrar que esse g coincide com a inversa f^{-1} (aquela garantida pela bijeção). Seja b\in B. Então, definindo a=g(b), temos f(a)=f(g(b))=(f\circ g)(b)=\operatorname{id}_{B}(b)=b.Portanto a é uma preimagem de b sob f. Mas como f é injetora a preimagem é única, e por definição de f^{-1} essa preimagem única é f^{-1}(b). Assim g(b)=a=f^{-1}(b).
  • Como isso vale para todo b\in B, segue g=f^{-1}.
  • Observação extra (unicidade): se houver outra função h:B\to A que também satisfaça h\circ f=\operatorname{id}_{A} e f\circ h=\operatorname{id}_{B}, então pelo mesmo argumento h=f^{-1} e portanto h=g; a inversa é única.

Resposta

(a) f é injetora.
(b) f é sobrejetora.
(c) f é bijetora se, e somente se, existe g:B\to A tal que g\circ f=\operatorname{id}_{A} e f\circ g=\operatorname{id}_{B}; nesse caso g=f^{-1}.

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