1{ }^{\text {a }} ) Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{4}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 0} x^{4}\cos\!\left(\frac{4}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado e observações úteis (somente listar, sem resolver aqui):
  • A função em questão é f(x)=x^{4}\cos\!\left(\dfrac{4}{x}\right).
  • A função \cos está definida para todo real e oscila quando seu argumento varia; no caso o argumento \dfrac{4}{x} explode quando x\to 0, causando oscilações rápidas.
  • Sabe-se que, para todo real t, vale -1 \le \cos(t) \le 1.
  • A função x\mapsto x^{4} é não negativa e tende a 0 quando x\to 0.

Passo 2

Estratégia didática (explicando a ferramenta que vamos usar): quando um fator oscila mas fica sempre entre dois limites que tendem ao mesmo valor, e outro fator tende a um valor, podemos usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Sanduíche ou Squeeze Theorem).
Enunciado do Teorema do Confronto (forma prática que será usada):
\text{Se } g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ para }x\text{ próximo de }a\text{ e }\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L,\text{ então }\lim_{x\to a}f(x)=L.óã
Explicando em palavras: se uma função fica “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Passo 3

Aplicando uma desigualdade básica à função: para todo x\neq 0 (na verdade vale para todo x),
-1 \le \cos\!\left(\frac{4}{x}\right) \le 1.
Como x^{4}\ge 0 para todo x, podemos multiplicar toda a desigualdade por x^{4} sem inverter os sinais. Assim obtemos, para todo x,
-x^{4} \le x^{4}\cos\!\left(\frac{4}{x}\right) \le x^{4}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que servem de “bordas” (as que aparecem na desigualdade):
\lim_{x\to 0} (-x^{4}) = 0, \qquad \lim_{x\to 0} x^{4} = 0.
Justificativa: a função potência x\mapsto x^{4} é contínua e x^{4}\to 0 quando x\to 0; multiplicar por -1 também dá limite 0.

Passo 5

Usando o Teorema do Confronto com as desigualdades do Passo 3 e os limites do Passo 4, concluímos que
\lim_{x\to 0} x^{4}\cos\!\left(\frac{4}{x}\right) = 0.
Uma maneira alternativa (equivalente) e muito prática para a prova: observar que
\left|x^{4}\cos\!\left(\frac{4}{x}\right)\right| = x^{4}\left|\cos\!\left(\frac{4}{x}\right)\right| \le x^{4},
e como \lim_{x\to 0} x^{4}=0, segue que a norma da função tende a zero, logo a própria função tende a zero.

Passo 6

Dica para a prova (resumida e amiga): quando tiver um produto com uma parte que fica limitada (como \cos) e outra que tende a zero (como x^{4}, x^{2}, etc.), pense imediatamente em usar desigualdade/valor absoluto ou o Teorema do Confronto — quase sempre resolve rápido. Respira: aqui o expoente alto ( 4) facilita porque força o produto a zero.

Resposta

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