) Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
f(x)=\left{
\right. quando
f(x)=\left{
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede o valor do limite quando
.
Informações relevantes que temos:
- Para
à esquerda de (ou seja, aproximando-se de por valores menores), a função vale . - Para
à direita de (ou seja, aproximando-se de por valores maiores), a função vale . - Não foi dada a definição de
— a função pode não estar definida em . Isso não impede calcular o limite, mas é um dado a observar. - O que o enunciado pede é o limite bilateral
: para esse limite existir, os limites laterais pela esquerda e pela direita precisam ser iguais.]
Passo 2
Conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
- Limite lateral pela esquerda:
é o valor ao qual se aproxima quando tende a por valores menores que . - Limite lateral pela direita:
é o valor ao qual se aproxima quando tende a por valores maiores que . - Regra prática: se
e e , então . Se , o limite bilateral NÃO existe. - Outra ideia útil: polinômios e funções lineares são contínuos onde estão definidos, isto é, seu limite em um ponto é simplesmente o valor obtido substituindo o ponto (por exemplo,
). Aqui as expressões e são lineares, então podemos calcular os limites laterais por substituição.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda. Para
temos
. Como
é contínua, pode-se substituir
no limite:
Explicando em palavras: ao aproximar
de
vindo da esquerda (por exemplo
),
se aproxima de
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita. Para
temos
. Novamente, por continuidade da função linear, substituímos
:
Em palavras: ao aproximar
de
vindo da direita (por exemplo
),
se aproxima de
.
Passo 5
Comparação e conclusão: os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita). Como as duas velocidades de aproximação não coincidem, o limite bilateral
não existe. (Dica prática para prova: sempre calcule
e
— se forem iguais, pronto; se forem diferentes, responde-se “não existe”.)
Resposta
Não existe;
e
.