1{ }^{\text {a }} ) Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
f(x)=\left{ \begin{array}{cc}x-1 & \text { se } x<3 \\ 3 x & \text { se } x>3\end{array}\right. quando x \rightarrow 3

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{se } x<3,\\[4pt] 3x & \text{se } x>3, \end{cases}
e pede o valor do limite quando x\to 3.
Informações relevantes que temos:
  • Para x à esquerda de 3 (ou seja, aproximando-se de 3 por valores menores), a função vale x-1.
  • Para x à direita de 3 (ou seja, aproximando-se de 3 por valores maiores), a função vale 3x.
  • Não foi dada a definição de f(3) — a função pode não estar definida em x=3. Isso não impede calcular o limite, mas é um dado a observar.
  • O que o enunciado pede é o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x): para esse limite existir, os limites laterais pela esquerda e pela direita precisam ser iguais.]

Passo 2

Conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
  • Limite lateral pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to 3^-} f(x) é o valor ao qual f(x) se aproxima quando x tende a 3 por valores menores que 3.
  • Limite lateral pela direita: \displaystyle\lim_{x\to 3^+} f(x) é o valor ao qual f(x) se aproxima quando x tende a 3 por valores maiores que 3.
  • Regra prática: se \displaystyle\lim_{x\to 3^-} f(x)=L_1 e \displaystyle\lim_{x\to 3^+} f(x)=L_2 e L_1=L_2, então \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x)=L_1(=L_2). Se L_1\neq L_2, o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x) NÃO existe.
  • Outra ideia útil: polinômios e funções lineares são contínuos onde estão definidos, isto é, seu limite em um ponto é simplesmente o valor obtido substituindo o ponto (por exemplo, \lim_{x\to a}(ax+b)=aa+b). Aqui as expressões x-1 e 3x são lineares, então podemos calcular os limites laterais por substituição.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<3 temos f(x)=x-1. Como x-1 é contínua, pode-se substituir x=3 no limite:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-} (x-1)=3-1=2.
Explicando em palavras: ao aproximar x de 3 vindo da esquerda (por exemplo 2{,}9, 2{,}99,\ldots), x-1 se aproxima de 2.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x>3 temos f(x)=3x. Novamente, por continuidade da função linear, substituímos x=3:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+} 3x=3\cdot 3=9.
Em palavras: ao aproximar x de 3 vindo da direita (por exemplo 3{,}1, 3{,}01,\ldots), 3x se aproxima de 9.

Passo 5

Comparação e conclusão: os limites laterais são diferentes ( 2 pela esquerda e 9 pela direita). Como as duas velocidades de aproximação não coincidem, o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x) não existe. (Dica prática para prova: sempre calcule \lim_{x\to a^-} e \lim_{x\to a^+} — se forem iguais, pronto; se forem diferentes, responde-se “não existe”.)

Resposta

Não existe; \displaystyle\lim_{x\to 3^-} f(x)=2 e \displaystyle\lim_{x\to 3^+} f(x)=9.

Exercícios relacionados