Exercício: Seja
F(x)=l 0, se x<0 0,1 se 0 <= x<1 0,3 se 1 <= x<2 0,5 se 2 <= x<3 0,8 se 3 <= x<4 0,9 se 4 <= x<5 1 se x >= 5
a) Construir gráfico de F(x).
b) Determinar a função de probabilidade de X, E(X) e Var(X).
c) Sendo Y=3 X-2, calcule E(Y) e Var(Y).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x) de uma v.a. discreta X com saltos em x=0,1,2,3,4,5. O que precisamos:
  1. Construir o gráfico de F(x), que é um escada com saltos nesses pontos.
  2. Extrair a função de probabilidade pX(x)=P(X=x), calcular E(X) e Var(X).
  3. Para Y=3X-2, usar propriedades de esperança e variância para obter E(Y) e Var(Y).

Passo 2

O gráfico de F(x) é um escada que vale
0, x<0; 0,1, 0<= x<1; 0,3, 1<= x<2; 0,5, 2<= x<3; 0,8, 3<= x<4; 0,9, 4<= x<5; 1, x>=5,
com saltos de altura igual à probabilidade em cada ponto x=0,1,2,3,4,5.

Passo 3

A função de probabilidade é dada pelos saltos de F:
pX(0)=F(0)-F(0^-)=0,1-0=0,1,
pX(1)=0,3-0,1=0,2, pX(2)=0,5-0,3=0,2,
pX(3)=0,8-0,5=0,3, pX(4)=0,9-0,8=0,1, pX(5)=1-0,9=0,1

Passo 4

Calcular a esperança:
E(X)=sumx=0^5x,pX(x) =0cdot0,1+1cdot0,2+2cdot0,2+3cdot0,3+4cdot0,1+5cdot0,1 =2,4

Passo 5

Calcular a variância: primeiro E(X^2),
E(X^2) =sumx=0^5x^2,pX(x) =0+1cdot0,2+4cdot0,2+9cdot0,3+16cdot0,1+25cdot0,1 =7,8,
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Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =7,8-(2,4)^2 =7,8-5,76 =2,04

Passo 6

Para Y=3X-2, usando propriedades:
E(Y)=3,E(X)-2=3cdot2,4-2=5,2,
Var(Y)=3^2,Var(X)=9cdot2,04=18,36

Resposta

Função de probabilidade:
pX(0)=0,1,, pX(1)=0,2,, pX(2)=0,2,, pX(3)=0,3,, pX(4)=0,1,, pX(5)=0,1
E(X)=2,4,
Var(X)=2,04,
E(Y)=5,2,
Var(Y)=18,36

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