Exercício 4 Seja
uma função.
Supondo que
, calcule
.
Supondo que
Passo 1
Vamos resolver um limite envolvendo uma função $ f $ e o cosseno de $ \frac{1}{x} $. O enunciado nos dá que $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{(x-a)^{2025}} = 0 $. Para resolver $ \lim_{x \rightarrow 0} f(x+a) \cos\left(\frac{1}{x}\right) $, vamos precisar usar conceitos de limites e funções limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o limite $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{(x-a)^{2025}} = 0 $ nos diz sobre a função $ f(x) $. Isso significa que, perto de $ x = a $, a função $ f(x) $ cresce mais lentamente que $ (x-a)^{2025} $. Em outras palavras, $ f(x) $ é “negligenciável” em comparação com $ (x-a)^{2025} $ quando $ x $ se aproxima de $ a $.
Passo 3
Agora, vamos mudar de variável para facilitar. Seja $ y = x + a $. Quando $ x $ se aproxima de 0, $ y $ se aproxima de $ a $. Então, podemos reescrever $ f(x+a) $ como $ f(y) $, onde $ y \rightarrow a $.
Passo 4
Substituindo na expressão do limite que queremos calcular:
Perceba que $ \cos\left(\frac{1}{y - a}\right) $ oscila entre -1 e 1 para valores de $ y $ próximos a $ a $.
Passo 5
Sabemos que $ \cos\left(\frac{1}{y - a}\right) $ está limitada, ou seja, $ -1 \leq \cos\left(\frac{1}{y - a}\right) \leq 1 $. Então, podemos usar a propriedade de que se uma função está limitada e outra tende a zero, o produto tende a zero.
Passo 6
Já que $ \lim_{y \rightarrow a} \frac{f(y)}{(y - a)^{2025}} = 0 $, isso implica que $ f(y) $ tende a zero mais rapidamente que $ (y - a)^{2025} $. Portanto, $ f(y) $ tende a zero quando $ y \rightarrow a $.
Passo 7
Juntando as informações, temos que $ f(y) $ tende a zero e $ \cos\left(\frac{1}{y - a}\right) $ está limitada. Logo, o produto $ f(y) \cos\left(\frac{1}{y - a}\right) $ também tende a zero.