Exercício 1.7:

Seja a \in \mathbb{Z} tal que a \cdot a=a. Prove que a=0 ou a=1.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede a conclusão:
  • Dado: a\in\mathbb{Z} e a\cdot a = a.
  • Pedido: provar que a=0 ou a=1.
Vou trabalhar apenas com essas informações: um inteiro a que satisfaz a^2=a, e mostrar que só existem duas possibilidades para a.

Passo 2

Reescrevendo a igualdade para agrupar tudo de um lado:
a\cdot a - a = 0.
Aqui estou usando a operação de subtração em \mathbb{Z}. Essa manipulação é apenas passar a para o lado esquerdo.

Passo 3

Fatorando o lado esquerdo usando a propriedade distributiva (que diz que x(y+z)=xy+xz; aqui usamos a fatoração inversa), obtemos
a(a-1)=0.
Explicando devagar: a expressão a^2-a é a mesma coisa que a\cdot a - a. Colocando a em evidência (fator comum), fica a\cdot(a-1).

Passo 4

Agora precisamos de um fato sobre inteiros: se dois inteiros têm produto zero então um dos fatores é zero. Vou justificar isso de forma elementar.
Proposição (zero-produto em \mathbb{Z}): se x,y\in\mathbb{Z} e xy=0, então x=0 ou y=0.
Prova curta e direta: se x=0 já está pronto. Se x\neq 0, então |x|\ge 1 porque o módulo de um inteiro não nulo é pelo menos 1. Usando a propriedade multiplicativa do valor absoluto, temos
0 = |xy| = |x|\;|y|.
Como |x|\ge 1, para que o produto |x|\;|y| seja zero é necessário que |y|=0. Portanto y=0. Isso mostra que, no caso inteiro, produto zero força um fator zero.

Passo 5

Aplicando a proposição ao produto que encontramos em \mathbb{Z}:
a(a-1)=0,
concluímos que ou a=0 ou a-1=0. No segundo caso, a-1=0 implica a=1.

Passo 6

Cheque rápido (verificação): para a=0 tem-se 0\cdot0=0 e para a=1 tem-se 1\cdot1=1. Assim ambas as possibilidades satisfazem a condição inicial; não há outros inteiros que funcionem (já provado).

Resposta

a=0 ou a=1

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