Exercício 1.7:
Seja
tal que
. Prove que
ou
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede a conclusão:
- Dado:
e . - Pedido: provar que
ou .
Vou trabalhar apenas com essas informações: um inteiro
que satisfaz
, e mostrar que só existem duas possibilidades para
.
Passo 2
Reescrevendo a igualdade para agrupar tudo de um lado:
Aqui estou usando a operação de subtração em
. Essa manipulação é apenas passar
para o lado esquerdo.
Passo 3
Fatorando o lado esquerdo usando a propriedade distributiva (que diz que
; aqui usamos a fatoração inversa), obtemos
Explicando devagar: a expressão
é a mesma coisa que
. Colocando
em evidência (fator comum), fica
.
Passo 4
Agora precisamos de um fato sobre inteiros: se dois inteiros têm produto zero então um dos fatores é zero. Vou justificar isso de forma elementar.
Proposição (zero-produto em
): se
e
, então
ou
.
Prova curta e direta: se
já está pronto. Se
, então
porque o módulo de um inteiro não nulo é pelo menos
. Usando a propriedade multiplicativa do valor absoluto, temos
Como
, para que o produto
seja zero é necessário que
. Portanto
. Isso mostra que, no caso inteiro, produto zero força um fator zero.
Passo 5
Aplicando a proposição ao produto que encontramos em
:
concluímos que ou
ou
. No segundo caso,
implica
.
Passo 6
Cheque rápido (verificação): para
tem-se
e para
tem-se
. Assim ambas as possibilidades satisfazem a condição inicial; não há outros inteiros que funcionem (já provado).