Dois ônibus chegaram a um ponto no mesmo horário Se o primeiro passa a cada 18 minutos, e o segundo a cada 30 minutos, depois de quanto tempo eles voltardo a chegar ao ponto no mesmo instante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Os dois ônibus chegam juntos a um ponto no mesmo instante (tempo inicial).
- O primeiro ônibus passa no ponto a cada
minutos. - O segundo ônibus passa no ponto a cada
minutos.
O que a questão pede:
- Determinar depois de quanto tempo (a partir do instante inicial) os dois voltarão a chegar ao ponto no mesmo instante.
Passo 2
Entendendo o que precisa ser calculado (ideia principal).
- Para que os dois ônibus cheguem juntos em algum tempo
, esse tempo deve ser um múltiplo dos dois intervalos. Ou seja, deve existir tal que é múltiplo de e também múltiplo de . - Queremos o menor tempo positivo com essa propriedade — isso é exatamente o mínimo múltiplo comum (MMC ou LCM) de
e .
Vou resolver o problema usando o método de fatoração em primos (muito direto e didático). Depois mostro rapidamente o método com máximo divisor comum (MDC) para reforçar.
Passo 3
Fatoração em primos (revisão rápida).
- Fatorar um número em primos significa escrevê-lo como produto de potências de números primos.
- Exemplos simples:
, .
Agora fatoramos os dois números dados:
Passo 4
Construindo o MMC a partir das fatorações.
- Para o MMC, pegamos cada primo que aparece em qualquer fatoração com o maior expoente que aparece entre as duas fatorações.
- Primos envolvidos:
, , . - Maior expoente de
é (aparece em ambos como ). - Maior expoente de
é (aparece como em e em ). - Maior expoente de
é (aparece só em como ).
- Maior expoente de
Portanto o MMC é
Calculando:
Passo 5
Interpretação do resultado.
- O menor tempo positivo em minutos que é múltiplo de
e de é minutos. - Isso significa que, a partir do instante em que chegaram juntos, eles voltarão a coincidir no mesmo ponto após
minutos.
Observação extra (útil em prova): quantas vezes cada ônibus passou até então?
Passo 6
Método alternativo (fórmula com MDC) — rápido e útil.
- Fórmula:
. - Calcular
pelo algoritmo de Euclides:
então
.
- Aplicando a fórmula:
o mesmo resultado, conferindo a conta.