Dois ônibus chegaram a um ponto no mesmo horário Se o primeiro passa a cada 18 minutos, e o segundo a cada 30 minutos, depois de quanto tempo eles voltardo a chegar ao ponto no mesmo instante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Os dois ônibus chegam juntos a um ponto no mesmo instante (tempo inicial).
  • O primeiro ônibus passa no ponto a cada 18 minutos.
  • O segundo ônibus passa no ponto a cada 30 minutos.
O que a questão pede:
  • Determinar depois de quanto tempo (a partir do instante inicial) os dois voltarão a chegar ao ponto no mesmo instante.

Passo 2

Entendendo o que precisa ser calculado (ideia principal).
  • Para que os dois ônibus cheguem juntos em algum tempo t>0, esse tempo deve ser um múltiplo dos dois intervalos. Ou seja, deve existir t tal que t é múltiplo de 18 e também múltiplo de 30.
  • Queremos o menor tempo positivo com essa propriedade — isso é exatamente o mínimo múltiplo comum (MMC ou LCM) de 18 e 30.
Vou resolver o problema usando o método de fatoração em primos (muito direto e didático). Depois mostro rapidamente o método com máximo divisor comum (MDC) para reforçar.

Passo 3

Fatoração em primos (revisão rápida).
  • Fatorar um número em primos significa escrevê-lo como produto de potências de números primos.
  • Exemplos simples: 12=2^2\cdot3, 20=2^2\cdot5.
Agora fatoramos os dois números dados:
18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2.
30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5.

Passo 4

Construindo o MMC a partir das fatorações.
  • Para o MMC, pegamos cada primo que aparece em qualquer fatoração com o maior expoente que aparece entre as duas fatorações.
  • Primos envolvidos: 2, 3, 5.
    • Maior expoente de 2 é 1 (aparece em ambos como 2^1).
    • Maior expoente de 3 é 2 (aparece como 3^2 em 18 e 3^1 em 30).
    • Maior expoente de 5 é 1 (aparece só em 30 como 5^1).
Portanto o MMC é
\mathrm{MMC}(18,30)=2^1\cdot3^2\cdot5^1.
Calculando:
2\cdot 3^2\cdot5 = 2\cdot 9\cdot 5 = 18\cdot 5 = 90.

Passo 5

Interpretação do resultado.
  • O menor tempo positivo em minutos que é múltiplo de 18 e de 30 é 90 minutos.
  • Isso significa que, a partir do instante em que chegaram juntos, eles voltarão a coincidir no mesmo ponto após 90 minutos.
Observação extra (útil em prova): quantas vezes cada ônibus passou até então?
\frac{90}{18}=5 \quad\text{vezes para o primeiro,}
\frac{90}{30}=3 \quad\text{vezes para o segundo.}

Passo 6

Método alternativo (fórmula com MDC) — rápido e útil.
  • Fórmula: \mathrm{MMC}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\mathrm{MDC}(a,b)}.
  • Calcular \mathrm{MDC}(18,30) pelo algoritmo de Euclides: 30=1\cdot18+12,
18=1\cdot12+6,
12=2\cdot6+0,
então \mathrm{MDC}(18,30)=6.
  • Aplicando a fórmula: \mathrm{MMC}(18,30)=\dfrac{18\cdot30}{6}=\dfrac{540}{6}=90,
o mesmo resultado, conferindo a conta.

Resposta

90 minutos
1\\ \text{hora}\\\ 30\\ \text{minutos}

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