Exercício 7 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=\left\{\begin{array}{cll}x^{2}+1, & \text { se } & x<1 \\\ (x-2)^{2}, & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right..
a) Encontre \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x).
b) \lim _{x \rightarrow 1} f(x) existe?
c) f é contínua no ponto p=1 ?
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}+1, & \text{se } x<1,\\[4pt] (x-2)^{2}, & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
e pede:
(a) calcular \lim_{x\to 1^-} f(x) e \lim_{x\to 1^+} f(x);
(b) dizer se \lim_{x\to 1} f(x) existe;
(c) dizer se f é contínua no ponto p=1;
(d) esboçar o gráfico de f.
As informações relevantes são: a expressão de f(x) para x<1 é \,x^{2}+1, e para x\ge1 é (x-2)^{2}. Nada mais foi dado.]

Passo 2

Entendendo o que é \lim_{x\to 1^-} f(x): esse limite é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 1 vindo pela esquerda (ou seja, por valores x<1). Quando nos aproximamos de 1 pela esquerda usamos a fórmula válida para x<1, que é \,x^{2}+1. Como a função polinomial é contínua, para calcular esse limite basta substituir x=1 na expressão x^{2}+1. Portanto,
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (x^{2}+1)=1^{2}+1=2.
Explicando com calma: uma função polinomial x^{2}+1 não tem “saltos” nem buracos internos, então o valor ao qual ela se aproxima quando x\to1 é exatamente o valor que ela toma em 1, isto é 2.

Passo 3

Agora \lim_{x\to 1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 1 pela direita (ou seja, por x>1). Para x\ge1 a expressão é (x-2)^{2}. Novamente é um polinômio (quadrática deslocada), contínuo na vizinhança de 1. Logo basta substituir x=1 nessa expressão:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (x-2)^{2}=(1-2)^{2}=(-1)^{2}=1.

Passo 4

Existência do limite \lim_{x\to 1} f(x): por definição, o limite \lim_{x\to 1} f(x) existe se, e somente se, os dois limites laterais são iguais:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to 1^-} f(x)=2 e \lim_{x\to 1^+} f(x)=1. Como 2\neq 1, os limites laterais são diferentes, portanto
\lim_{x\to 1} f(x)\\ \text{não existe.}ã

Passo 5

Continuidade em p=1: por definição, f é contínua em x=1 se três coisas ocorrem simultaneamente:
  1. f(1) está definido;
  2. \lim_{x\to 1} f(x) existe;
  3. \lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
Verificações: o valor f(1) vem da regra x\ge1, então
f(1)=(1-2)^{2}=1.
Já vimos que \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Logo a condição (2) falha, e portanto f não é contínua em p=1. Outra maneira de ver: mesmo que f(1)=1, o limite pela esquerda é 2, diferente de 1, então há um salto e f é descontínua em 1.

Passo 6

Como esboçar o gráfico de f (passo a passo prático para desenhar na prova):
  • Desenhe eixos x e y.
  • Para x<1: faça a parábola y=x^{2}+1.
    • Vértice em (0,1).
    • Alguns pontos úteis: (-1,2), (0,1), e quando x se aproxima de 1 a curva atinge y\to2. Em x=1 essa parte não está definida (porque a regra é só para x<1), então marque em (1,2) um círculo aberto.
  • Para x\ge1: faça a parábola y=(x-2)^{2}.
    • Vértice em (2,0).
    • Pontos: (1,1), (2,0), (3,1). Como essa regra inclui x=1, marque em (1,1) um ponto cheio (preenchido).
  • Resultado visual: duas parábolas que se cruzam verticalmente em x=1 com valores diferentes — ponto aberto em (1,2) e ponto cheio em (1,1). Isso mostra o “salto” em x=1.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: os cálculos foram simples porque cada ramo é uma função polinomial (continua), então calcular limites laterais foi só substituir x=1 nas expressões correspondentes. O salto entre 2 (pela esquerda) e 1 (pela direita e valor da função) é o motivo da falta de limite e da descontinuidade. Vai dar certo — praticando mais funções por partes você pega o jeito rápido!

Resposta

(a) \lim_{x\to 1^-} f(x)=2,\quad \lim_{x\to 1^+} f(x)=1
(b) Não, \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
(c) Não, f não é contínua em p=1 (pois f(1)=1 e os limites laterais são diferentes).
(d) Gráfico: para x<1 a parábola y=x^{2}+1 (círculo aberto em (1,2)); para x\ge1 a parábola y=(x-2)^{2} (ponto preenchido em (1,1)).

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