Exercício 7 Seja
, dada por
.
a) Encontre
e
.
b)
existe?
c)
é contínua no ponto
?
d) Esboce o gráfico de
.
a) Encontre
b)
c)
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede:
(a) calcular e
;
(b) dizer se existe;
(c) dizer se é contínua no ponto
;
(d) esboçar o gráfico de .
(a) calcular
(b) dizer se
(c) dizer se
(d) esboçar o gráfico de
As informações relevantes são: a expressão de
para
é
, e para
é
. Nada mais foi dado.]
Passo 2
Entendendo o que é
: esse limite é o valor que
se aproxima quando
tende para
vindo pela esquerda (ou seja, por valores
). Quando nos aproximamos de
pela esquerda usamos a fórmula válida para
, que é
. Como a função polinomial é contínua, para calcular esse limite basta substituir
na expressão
. Portanto,
Explicando com calma: uma função polinomial
não tem “saltos” nem buracos internos, então o valor ao qual ela se aproxima quando
é exatamente o valor que ela toma em
, isto é
.
Passo 3
Agora
é o valor que
se aproxima quando
tende para
pela direita (ou seja, por
). Para
a expressão é
. Novamente é um polinômio (quadrática deslocada), contínuo na vizinhança de
. Logo basta substituir
nessa expressão:
Passo 4
Existência do limite
: por definição, o limite
existe se, e somente se, os dois limites laterais são iguais:
Aqui encontramos
e
. Como
, os limites laterais são diferentes, portanto
Passo 5
Continuidade em
: por definição,
é contínua em
se três coisas ocorrem simultaneamente:
-
está definido; -
existe; -
.
Verificações: o valor
vem da regra
, então
Já vimos que
não existe. Logo a condição (2) falha, e portanto
não é contínua em
. Outra maneira de ver: mesmo que
, o limite pela esquerda é
, diferente de
, então há um salto e
é descontínua em
.
Passo 6
Como esboçar o gráfico de
(passo a passo prático para desenhar na prova):
- Desenhe eixos
e . - Para
: faça a parábola . - Vértice em
. - Alguns pontos úteis:
, , e quando se aproxima de a curva atinge . Em essa parte não está definida (porque a regra é só para ), então marque em um círculo aberto.
- Vértice em
- Para
: faça a parábola . - Vértice em
. - Pontos:
, , . Como essa regra inclui , marque em um ponto cheio (preenchido).
- Vértice em
- Resultado visual: duas parábolas que se cruzam verticalmente em
com valores diferentes — ponto aberto em e ponto cheio em . Isso mostra o “salto” em .
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: os cálculos foram simples porque cada ramo é uma função polinomial (continua), então calcular limites laterais foi só substituir
nas expressões correspondentes. O salto entre
(pela esquerda) e
(pela direita e valor da função) é o motivo da falta de limite e da descontinuidade. Vai dar certo — praticando mais funções por partes você pega o jeito rápido!
Resposta
(a)
(b) Não, não existe.
(c) Não, não é contínua em
(pois
e os limites laterais são diferentes).
(d) Gráfico: para a parábola
(círculo aberto em
); para
a parábola
(ponto preenchido em
).
(b) Não,
(c) Não,
(d) Gráfico: para