Exercício 6 Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x^{3}+5 x} \\\ \end{array}\right.
a) Calcule, se existir, \lim _{x \rightarrow 0} f(x).
b) f é contínua ponto p=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{2x^{3}+5x}
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular, se existir, \lim_{x\to 0} f(x).
  • (b) Verificar se f é contínua no ponto p=0.
Informações relevantes que temos (tal qual aparecem no enunciado):
  • A expressão dentro da raiz é 2x^{3}+5x.
  • Para que f(x) esteja bem definida como número real, é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, ou seja, que 2x^{3}+5x\ge 0.
  • O ponto onde queremos estudar limite e continuidade é x=0.

Passo 2

Primeiro vamos identificar o conjunto de pontos onde a função está definida (domínio), porque isso afeta como interpretamos o limite em x=0. Determinar o domínio significa resolver a desigualdade
2x^{3}+5x\ge 0.
Fatorando o lado esquerdo obtemos
2x^{3}+5x = x(2x^{2}+5).
Agora observe que 2x^{2}+5>0 para todo x\in\mathbb{R} (é soma de termos não negativos mais 5), então o sinal do produto x(2x^{2}+5) é o mesmo do sinal de x. Logo a desigualdade x(2x^{2}+5)\ge 0 equivale a
x\ge 0.
Portanto o domínio da função é
\mathrm{Dom}(f)=[0,\infty).
Importante: isso mostra que a função não está definida para x<0. Assim, ao falar de \lim_{x\to 0} f(x) devemos considerar aproximações de x ao zero que ficam dentro do domínio, ou seja aproximações pela direita (valores x\ge 0).

Passo 3

Vamos calcular \lim_{x\to 0} f(x). Como o domínio é [0,\infty), o limite quando x\to 0 significa, na prática, o limite pela direita x\to 0^{+}.
Uma maneira didática e rigorosa de mostrar o limite é usar desigualdades (princípio do aperto / squeeze). Para x\ge 0 podemos escrever a raiz como
f(x)=\sqrt{x(2x^{2}+5)}.
Escolha um intervalo simples perto de zero, por exemplo 0\le x\le 1. Para esses x temos
0\le 2x^{2}\le 2,
então
5\le 2x^{2}+5 \le 7.
Multiplicando por x\ge0 e aplicando raiz quadrada (função não decrescente em argumentos não negativos) obtemos, para 0\le x\le 1,
\sqrt{5x}\le \sqrt{x(2x^{2}+5)} \le \sqrt{7x}.
Isto é,
\sqrt{5x}\le f(x)\le \sqrt{7x},\qquad\text{para }0\le x\le 1.
Agora note que
\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{5x}=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{7x}=0,
pois \sqrt{c x}\to 0 quando x\to 0^+ para qualquer constante c>0. Pelo teorema do aperto (squeeze), segue que
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=0.
Como a função não é definida para x<0, o limite \lim_{x\to 0} f(x) (no sentido de limite em um subconjunto) existe e é igual ao limite pela direita, isto é 0.
(Alternativa curta e intuitiva: a função é composição de polinômio g(x)=2x^{3}+5x e h(y)=\sqrt{y}; para x\ge0 ambos são contínuos e h(g(0))=\sqrt{0}=0, então o limite é 0. A prova por desigualdade acima é mais elementar e não usa teoremas sobre composições.)

Passo 4

Agora verificamos continuidade em p=0. A definição de continuidade em um ponto a do domínio é: f é contínua em a se f(a) está definido e
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
sendo o limite calculado para x no domínio.
Calculamos f(0):
f(0)=\sqrt{2\cdot 0^{3}+5\cdot 0}=\sqrt{0}=0.
Do Passo 3 temos \lim_{x\to 0} f(x)=0. Como o limite existe e é igual a f(0), concluímos que f é contínua no ponto p=0.

Resposta

a) \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0
b) Sim: f é contínua em p=0.

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