Exercício 6 Considere a função
, dada por
a) Calcule, se existir,
.
b)
é contínua ponto
?
a) Calcule, se existir,
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular, se existir,
. - (b) Verificar se
é contínua no ponto .
Informações relevantes que temos (tal qual aparecem no enunciado):
- A expressão dentro da raiz é
. - Para que
esteja bem definida como número real, é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, ou seja, que . - O ponto onde queremos estudar limite e continuidade é
.
Passo 2
Primeiro vamos identificar o conjunto de pontos onde a função está definida (domínio), porque isso afeta como interpretamos o limite em
. Determinar o domínio significa resolver a desigualdade
Fatorando o lado esquerdo obtemos
Agora observe que
para todo
(é soma de termos não negativos mais
), então o sinal do produto
é o mesmo do sinal de
. Logo a desigualdade
equivale a
Portanto o domínio da função é
Importante: isso mostra que a função não está definida para
. Assim, ao falar de
devemos considerar aproximações de
ao zero que ficam dentro do domínio, ou seja aproximações pela direita (valores
).
Passo 3
Vamos calcular
. Como o domínio é
, o limite quando
significa, na prática, o limite pela direita
.
Uma maneira didática e rigorosa de mostrar o limite é usar desigualdades (princípio do aperto / squeeze). Para
podemos escrever a raiz como
Escolha um intervalo simples perto de zero, por exemplo
. Para esses
temos
então
Multiplicando por
e aplicando raiz quadrada (função não decrescente em argumentos não negativos) obtemos, para
,
Isto é,
Agora note que
pois
quando
para qualquer constante
. Pelo teorema do aperto (squeeze), segue que
Como a função não é definida para
, o limite
(no sentido de limite em um subconjunto) existe e é igual ao limite pela direita, isto é
.
(Alternativa curta e intuitiva: a função é composição de polinômio
e
; para
ambos são contínuos e
, então o limite é
. A prova por desigualdade acima é mais elementar e não usa teoremas sobre composições.)
Passo 4
Agora verificamos continuidade em
. A definição de continuidade em um ponto
do domínio é:
é contínua em
se
está definido e
sendo o limite calculado para
no domínio.
Calculamos
:
Do Passo 3 temos
. Como o limite existe e é igual a
, concluímos que
é contínua no ponto
.
Resposta
a)
b) Sim:
é contínua em
.