Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve potências de
e potências de
, e o ponto de interesse é
. A pergunta é somente esse limite.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão antes de atacar o limite. Note que
Então o problema reduz-se a calcular
e, depois, elevar o resultado à sexta potência.
Explicação didática (regra de limites usada): se existe
e
é uma função contínua em
, então
A função
é contínua para todo
, então podemos aplicar essa regra depois de achar
.
Passo 3
Agora vamos calcular
. Esse é um limite clássico; a maneira padrão e elementar de provar que ele vale
usa o Teorema do Sanduíche (squeeze theorem) com uma desigualdade trigonométrica. Para
vale a desigualdade
Breve justificativa da desigualdade (ideia geométrica): em um círculo unitário, comparando áreas do triângulo inscrito, do setor circular e do triângulo formado pela tangente, obtém-se
, que leva exatamente a
.
Passo 4
A partir de
para
fazemos manipulações algébricas que preservam desigualdades: dividir tudo por
dá
Invertendo adequadamente e reorganizando (ou fazendo uma etapa alternativa: dividir
por
e dividir
por
) obtém-se a forma mais usada
Como
, pela regra do Sanduíche segue que
Para
a razão
é par (ou seja, tem o mesmo valor para
e
), então o limite lateral à esquerda também é
. Logo o limite total é
.
Passo 5
Voltando ao que precisamos: já sabemos que
Pelo argumento de continuidade da função potência (passo 2), temos
Portanto o limite pedido existe e é
.
Resposta
1