\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{6}(x)}{x^{6}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^{6}(x)}{x^{6}}.
Informações dadas: a expressão envolve potências de \sin(x) e potências de x, e o ponto de interesse é x \rightarrow 0. A pergunta é somente esse limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão antes de atacar o limite. Note que
\frac{\sin^{6}(x)}{x^{6}}=\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{6}.
Então o problema reduz-se a calcular \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} e, depois, elevar o resultado à sexta potência.
Explicação didática (regra de limites usada): se existe \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=L e g(t)=t^{6} é uma função contínua em t=L, então
\lim_{x\to 0} g(f(x)) = g\!\left(\lim_{x\to 0} f(x)\right)=L^{6}.
A função g(t)=t^{6} é contínua para todo t, então podemos aplicar essa regra depois de achar \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}.

Passo 3

Agora vamos calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}. Esse é um limite clássico; a maneira padrão e elementar de provar que ele vale 1 usa o Teorema do Sanduíche (squeeze theorem) com uma desigualdade trigonométrica. Para 0<x<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\sin x < x < \tan x.
Breve justificativa da desigualdade (ideia geométrica): em um círculo unitário, comparando áreas do triângulo inscrito, do setor circular e do triângulo formado pela tangente, obtém-se \tfrac{1}{2}\sin x < \tfrac{1}{2}x < \tfrac{1}{2}\tan x, que leva exatamente a \sin x < x < \tan x.

Passo 4

A partir de \sin x < x < \tan x para 0<x<\dfrac{\pi}{2} fazemos manipulações algébricas que preservam desigualdades: dividir tudo por x\sin x>0
\frac{\sin x}{x} < 1 < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo adequadamente e reorganizando (ou fazendo uma etapa alternativa: dividir \sin x < x por x e dividir x < \tan x por \tan x) obtém-se a forma mais usada
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\qquad\text{para }0<x<\frac{\pi}{2}.
Como \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pela regra do Sanduíche segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.
Para x<0 a razão \dfrac{\sin x}{x} é par (ou seja, tem o mesmo valor para x e -x), então o limite lateral à esquerda também é 1. Logo o limite total é 1.

Passo 5

Voltando ao que precisamos: já sabemos que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Pelo argumento de continuidade da função potência (passo 2), temos
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{6} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^{6} = 1^{6}.
Portanto o limite pedido existe e é 1.

Resposta

1

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