Determine uma função
tal que
e (b) use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
\mathbf{F}(x, y)=(1+x y) e^{x y} \mathbf{i}+x^{2} e^{x y} \mathbf{j}
\mathbf{F}(x, y)=(1+x y) e^{x y} \mathbf{i}+x^{2} e^{x y} \mathbf{j}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede (a) encontrar uma função
tal que (ou seja, achar uma potencial para ); e (b) usar essa função para calcular . - A campo vetorial dado é
. Ou seja: - Componente em
: . - Componente em
: .
- Componente em
- A curva
é parametrizada por , com . - Pontos inicial e final da curva (pegos da parametrização):
-
. -
.
-
Passo 2
Conceito e método para achar
(a “potencial”):
Se então
Se
Método prático: integro
em relação a
(tratando
como constante) e introduzo uma função arbitrária de
(pois ao derivar em
essa função some). Depois ajusto essa função usando a condição sobre
.
Aplicando: integrar
em relação a
.
Uma observação útil (e frequente em prova): reconhecer uma derivada evidente ajuda muito. Note que
Uma observação útil (e frequente em prova): reconhecer uma derivada evidente ajuda muito. Note que
Portanto uma primitiva em relação a
é
. Assim escrevemos, com uma função arbitrária
:
Passo 3
Determinar
usando a segunda componente: calculo
e igualo a
.
Calculemos
Calculemos
Como precisamos ter
, segue que
Logo
é constante. Podemos escolher a constante igual a zero (potencial determinada até uma constante). Assim uma função
que funciona é
Passo 4
Confirmação rápida (útil na prova): verificar que
realmente dá
.
Perfeito —
é gradiente de
(campo conservativo, definido e suave em todo
).
Passo 5
Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente: se
e
vai de
a
, então
isto é, basta avaliar
nos extremos da curva. Já calculamos os extremos:
- ponto inicial
, - ponto final
.
Calcule
nesses pontos:
Portanto