Determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f e (b) use a parte (a) para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva C dada.
\mathbf{F}(x, y)=(1+x y) e^{x y} \mathbf{i}+x^{2} e^{x y} \mathbf{j}
C: \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+2 \operatorname{sen} t \mathbf{j}, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede (a) encontrar uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f (ou seja, achar uma potencial para \mathbf{F}); e (b) usar essa função para calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • A campo vetorial dado é \mathbf{F}(x,y)=(1+xy)e^{xy}\,\mathbf{i}+x^{2}e^{xy}\,\mathbf{j}. Ou seja:
    • Componente em x: F_1(x,y)=(1+xy)e^{xy}.
    • Componente em y: F_2(x,y)=x^{2}e^{xy}.
  • A curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j}, com 0\le t\le \pi/2.
  • Pontos inicial e final da curva (pegos da parametrização):
    • \mathbf{r}(0)=(\cos 0,2\sin 0)=(1,0).
    • \mathbf{r}(\pi/2)=(\cos(\pi/2),2\sin(\pi/2))=(0,2).

Passo 2

Conceito e método para achar f (a “potencial”):
Se \mathbf{F}=\nabla f então
\frac{\partial f}{\partial x}=F_1(x,y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=F_2(x,y).
Método prático: integro F_1 em relação a x (tratando y como constante) e introduzo uma função arbitrária de y (pois ao derivar em x essa função some). Depois ajusto essa função usando a condição sobre \partial f/\partial y.
Aplicando: integrar F_1(x,y)=(1+xy)e^{xy} em relação a x.
Uma observação útil (e frequente em prova): reconhecer uma derivada evidente ajuda muito. Note que
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{xy}\bigr) = e^{xy} + x\cdot y e^{xy} = (1+xy)e^{xy}.
Portanto uma primitiva em relação a x é x e^{xy}. Assim escrevemos, com uma função arbitrária h(y):
f(x,y)=x e^{xy}+h(y).

Passo 3

Determinar h(y) usando a segunda componente: calculo \partial f/\partial y e igualo a F_2.
Calculemos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{xy}+h(y)\bigr) = x\cdot x e^{xy} + h'(y) = x^{2} e^{xy} + h'(y).
Como precisamos ter \partial f/\partial y=F_2(x,y)=x^{2}e^{xy}, segue que
x^{2} e^{xy} + h'(y) = x^{2} e^{xy}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante. Podemos escolher a constante igual a zero (potencial determinada até uma constante). Assim uma função f que funciona é
f(x,y)=x e^{xy}.

Passo 4

Confirmação rápida (útil na prova): verificar que \nabla f realmente dá \mathbf{F}.
\frac{\partial f}{\partial x}= (1+xy)e^{xy}=F_1,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}= x^{2}e^{xy}=F_2.
Perfeito — \mathbf{F} é gradiente de f (campo conservativo, definido e suave em todo \mathbb{R}^2).

Passo 5

Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente: se \mathbf{F}=\nabla f e C vai de A a B, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A),
isto é, basta avaliar f nos extremos da curva. Já calculamos os extremos:
  • ponto inicial A=\mathbf{r}(0)=(1,0),
  • ponto final B=\mathbf{r}(\pi/2)=(0,2).
Calcule f nesses pontos:
f(0,2)=0\cdot e^{0\cdot 2}=0, \qquad f(1,0)=1\cdot e^{1\cdot 0}=1.
Portanto
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(0,2)-f(1,0)=0-1=-1.

Resposta

f(x,y)=x e^{xy}
\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-1

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