Exercício 6: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que T(1,0,0)= (2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,0) e T(0,0,1)=(0,0,0). Determine a expressão geral T(x, y, z) e a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá explicitamente o valor de T aplicado aos vetores canônicos de \mathbb{R}^3:
  • T(1,0,0)= (2,4,-1).
  • T(0,1,0)= (1,3,0).
  • T(0,0,1)= (0,0,0).
O que é pedido:
  1. Determinar a expressão geral de T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
  2. Determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).

Passo 2

Lembrete importante e aplicação imediata: qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores canônicos:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).
Como T é linear, vale a propriedade
T\bigl(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)\bigr)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Isto é a regra fundamental que vamos usar: aplicar T a uma combinação linear = combinar as imagens com os mesmos coeficientes.

Passo 3

Agora substituo os valores conhecidos de T nas imagens dos canônicos:
T(x,y,z)=x\,(2,4,-1)+y\,(1,3,0)+z\,(0,0,0).
Faço a soma componente a componente (multiplicando cada vetor pelo seu escalar e somando):
  • Primeira componente: 2x + 1\cdot y + 0\cdot z = 2x+y.
  • Segunda componente: 4x + 3y + 0\cdot z = 4x+3y.
  • Terceira componente: -1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -x.
Portanto a expressão geral é
T(x,y,z) = (\,2x+y,\;4x+3y,\;-x\,).

Passo 4

Representação matricial (útil para visualizar a imagem): as colunas da matriz associada a T são as imagens dos vetores canônicos. Assim a matriz A de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]4 & 3 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
E de fato
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+y\\[4pt]4x+3y\\[4pt]-x\end{pmatrix},
que coincide com o resultado do passo anterior.]

Passo 5

Agora vou encontrar a imagem de T\) (o subespaço gerado pelas colunas de \(A\)) e sua dimensão. A imagem é \[\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(2,4,-1),\,(1,3,0),\,(0,0,0)\}.
O vetor (0,0,0) não contribui para gerar dimensão, então basta olhar para os dois primeiros vetores. Verifico se eles são linearmente independentes: suponha que existam escalares a,b tais que
a(2,4,-1)+b(1,3,0)=(0,0,0).
Isso dá o sistema de componentes:
\begin{cases} 2a+b=0,\\[4pt] 4a+3b=0,\\[4pt] - a + 0\cdot b=0. \end{cases}
Da terceira equação vem a=0\]. Substituindo em \(2a+b=0 obtemos b=0. Logo a=b=0, ou seja, os vetores (2,4,-1) e (1,3,0) são linearmente independentes.
Como temos dois vetores independentes que geram a imagem e não existe um terceiro vetor não nulo adicional (a terceira coluna é nula), concluímos que a dimensão da imagem é 2. Uma base natural para a imagem é
\{(2,4,-1),\,(1,3,0)\}.]

Passo 6

(Faço uma observação geométrica curta, que pode ajudar na prova) A imagem é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3. Um vetor normal a esse plano pode ser obtido pelo produto vetorial:
(2,4,-1)\times(1,3,0)=(3,-1,2).
Assim uma equação cartesiana do plano imagem é
3X - Y + 2Z = 0,
onde (X,Y,Z) é um ponto do plano (isso confirma que os geradores satisfazem a equação).

Resposta

T(x,y,z) = (\,2x+y,\;4x+3y,\;-x\,)
\dim(\operatorname{Im}T)=2

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