Encontrar o ponto onde a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\\ y=-1+3 t \\\ z=4-t\end{array}\right. intercepta o plano \pi: 2 x-3 y+3 z+1=0.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A reta r em forma paramétrica:
x=2+t,\qquad y=-1+3t,\qquad z=4-t,
onde t é o parâmetro real.
  • O plano \pi na forma cartesiana:
2x-3y+3z+1=0.
O que o problema pede:
  • Encontrar o ponto de interseção entre a reta r e o plano \pi (ou seja, o ponto comum aos dois).

Passo 2

Ideia do método (passo a passo didático):
  • Um ponto P pertence à reta r se suas coordenadas puderem ser escritas como \bigl(2+t,\,-1+3t,\,4-t\bigr) para algum t.
  • Esse mesmo ponto P pertence ao plano \pi se suas coordenadas satisfazem a equação \,2x-3y+3z+1=0.
  • Logo, para encontrar a interseção, substitui-se x=2+t, y=-1+3t, z=4-t na equação do plano e resolve-se a equação obtida para t.
    Explicando os objetos (para você entender bem na hora da prova):
  • O parâmetro t percorre os pontos da reta; variar t gera todos os pontos da reta.
  • O plano é dado por uma equação linear em x,y,z; um ponto está no plano quando, ao substituir suas coordenadas nessa equação, o resultado é zero.
  • Substituição => equação linear em t (fácil de resolver sem calculadora).

Passo 3

Substituir x=2+t, y=-1+3t, z=4-t na equação do plano e simplificar passo a passo:
2x-3y+3z+1=0
2(2+t)-3(-1+3t)+3(4-t)+1=0
Calcule termo a termo:
2(2+t)=4+2t,
-3(-1+3t)=3-9t,
3(4-t)=12-3t.
Somando tudo:
(4+2t)+(3-9t)+(12-3t)+1=0.
Agrupando constantes e coeficientes de t:
(4+3+12+1)+(2t-9t-3t)=0
20-10t=0.
Resolver para t:
-10t=-20\quad\Rightarrow\quad t=2.

Passo 4

Agora achamos as coordenadas do ponto substituindo t=2 nas equações paramétricas da reta:
x=2+t=2+2=4,
y=-1+3t=-1+3\cdot2=-1+6=5,
z=4-t=4-2=2.
Portanto o ponto de interseção é P=(4,5,2).

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituir x=4, y=5, z=2 na equação do plano:
2\cdot4-3\cdot5+3\cdot2+1=8-15+6+1=0,
confirma que P está no plano. Também P está na reta porque foi obtido com t=2.

Passo 6

Dica prática para a prova (truque útil):
  • Identifique um ponto da reta r_0=(2,-1,4) e o vetor direcional v=(1,3,-1).
  • Identifique o vetor normal do plano n=(2,-3,3).
  • A fórmula rápida para o parâmetro da interseção é
t=-\dfrac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a d_x + b d_y + c d_z},
onde a,b,c,d são os coeficientes do plano ax+by+cz+d=0 e (d_x,d_y,d_z) é a direção da reta. Aqui isso dá o mesmo t=2.
  • Atenção: se o denominador for zero, a reta é paralela ao plano (ou está contida nele); então não há interseção única.
Força aí — você já resolveu a parte mais chata: trocar letra por letra e resolver uma equação linear. Confia que dá!

Resposta

P=(4,5,2)

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