Exercício 4: Verifique se as seguintes funções T: V \rightarrow W são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y, z)=(2 x-z, y+4 z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z) = (2x - z,\; y + 4z).
O que se pede: verificar se T é uma transformação linear, ou seja, confirmar (ou negar) que T preserva adição de vetores e multiplicação por escalar para todos os vetores de \mathbb{R}^{3} e todos os escalares reais.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): T é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\quad T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(\alpha \mathbf{u}) = \alpha\, T(\mathbf{u}).
Intuição rápida: uma transformação linear “distribui” sobre somas e tira escalares para fora — nada de termos constantes tipo “+5” aparecendo sozinhos. Agora vamos checar essas duas propriedades passo a passo.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Primeiro calcule \mathbf{u}+\mathbf{v}:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora aplique T em \mathbf{u}+\mathbf{v}:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl(2(x_1+x_2) - (z_1+z_2),\; (y_1+y_2) + 4(z_1+z_2)\bigr).
Distribuindo e reorganizando termos:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl(2x_1+2x_2 - z_1 - z_2,\; y_1+y_2 + 4z_1 + 4z_2\bigr).
Agora escreva isso como soma de duas tuplas:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl(2x_1 - z_1,\; y_1 + 4z_1\bigr) + \bigl(2x_2 - z_2,\; y_2 + 4z_2\bigr).
Mas as duas tuplas acima são exatamente T(\mathbf{u}) e T(\mathbf{v}). Logo
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).
A aditividade está verificada.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z). Primeiro calcule \alpha\mathbf{u}:
\alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\; \alpha y,\; \alpha z).
Aplique T em \alpha\mathbf{u}:
T(\alpha\mathbf{u}) = \bigl(2(\alpha x) - (\alpha z),\; \alpha y + 4(\alpha z)\bigr).
Fatore \alpha em cada componente:
T(\alpha\mathbf{u}) = \bigl(\alpha(2x - z),\; \alpha(y + 4z)\bigr) = \alpha\bigl(2x - z,\; y + 4z\bigr).
Mas \bigl(2x - z,\; y + 4z\bigr)=T(\mathbf{u}). Portanto
T(\alpha\mathbf{u}) = \alpha\, T(\mathbf{u}).
A homogeneidade está verificada.

Passo 5

Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas pela definição de transformação linear (aditividade e homogeneidade), concluímos que T é linear. Dica prática para a prova: sempre que T for dada por expressões lineares sem termos constantes (apenas combinações lineares das coordenadas), isso já é um forte indício de linearidade; uma verificação rápida é o cálculo com vetores genéricos como fizemos. Outra forma prática: escrever T como produto de matriz por vetor, o que também mostra linearidade (exemplo abaixo).

Passo 6

Representação matricial (como reforço didático). A transformação T corresponde à multiplicação pela matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 4\end{pmatrix},
pois para \mathbf{v}=(x,y,z)^{T} tem-se T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}. Qualquer aplicação dada por A\mathbf{v} é automaticamente linear. Vai dar tudo certo na prova — você já fez o essencial aqui!]

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

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