Exercício 4: Verifique se as seguintes funções
são transformações lineares:
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que se pede: verificar se
é uma transformação linear, ou seja, confirmar (ou negar) que
preserva adição de vetores e multiplicação por escalar para todos os vetores de
e todos os escalares reais.
Passo 2
Definição (explicada de forma simples):
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Intuição rápida: uma transformação linear “distribui” sobre somas e tira escalares para fora — nada de termos constantes tipo “+5” aparecendo sozinhos. Agora vamos checar essas duas propriedades passo a passo.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
em
:
Distribuindo e reorganizando termos:
Agora escreva isso como soma de duas tuplas:
Mas as duas tuplas acima são exatamente
e
. Logo
A aditividade está verificada.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Primeiro calcule
:
Aplique
em
:
Fatore
em cada componente:
Mas
. Portanto
A homogeneidade está verificada.
Passo 5
Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas pela definição de transformação linear (aditividade e homogeneidade), concluímos que
é linear. Dica prática para a prova: sempre que
for dada por expressões lineares sem termos constantes (apenas combinações lineares das coordenadas), isso já é um forte indício de linearidade; uma verificação rápida é o cálculo com vetores genéricos como fizemos. Outra forma prática: escrever
como produto de matriz por vetor, o que também mostra linearidade (exemplo abaixo).
Passo 6
Representação matricial (como reforço didático). A transformação
corresponde à multiplicação pela matriz
pois para
tem-se
. Qualquer aplicação dada por
é automaticamente linear. Vai dar tudo certo na prova — você já fez o essencial aqui!]
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.