Exercício 4.2. Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) gerado pelas matrizes: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M_{2\times2}(\mathbb{R}) e pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço W gerado por elas. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Encontrar uma base de W=\operatorname{span}\{A,B,C,D\}.
  • Determinar a dimensão de W.
Também temos implicitamente a informação de que W é o subespaço formado por todas as combinações lineares de A,B,C,D.]

Passo 2

Breve revisão didática (sem pular etapas) do que vamos usar.
  • Um conjunto de matrizes é uma base de um subespaço se (i) as matrizes são linearmente independentes e (ii) seu span é o subespaço. A dimensão é o número de vetores da base.
  • Para testar independência linear e calcular dimensão é prático identificar M_{2\times2}(\mathbb{R}) com \mathbb{R}^4 via a bijeção que transforma
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} \quad\longleftrightarrow\quad (a,b,c,d).
Essa identificação preserva combinações lineares, então podemos trabalhar com vetores em \mathbb{R}^4: linearidade de matrizes vira linearidade de vetores de quatro coordenadas.
  • Uma maneira sistemática é colocar os vetores (coordenadas das matrizes) como colunas de uma matriz 4\times 4 e calcular o posto (número de colunas linearmente independentes) por eliminação de Gauss. As colunas pivô correspondem às matrizes independentes que podemos tomar como base.]

Passo 3

Passo concreto: escrever as coordenadas de A,B,C,D segundo a ordem (a,b,c,d) onde a matriz é \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}.
  • Para A=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} obtemos o vetor (1,1,0,0).
  • Para B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} obtemos o vetor (0,0,1,1).
  • Para C=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} obtemos o vetor (1,0,0,1).
  • Para D=\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]1&2\end{pmatrix} obtemos o vetor (2,1,1,2).
Agora montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas (coluna 1 = A, coluna 2 = B, coluna 3 = C, coluna 4 = D):
M= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O posto de M é a dimensão de W, e as colunas pivô correspondem a uma base formada por algumas das matrizes A,B,C,D.]

Passo 4

Eliminação de Gauss passo a passo sobre M. Vou aplicar operações sobre linhas (isso não muda dependências entre colunas, apenas facilita achar pivôs).
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Subtraio a linha 1 da linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Troco a linha 2 com a linha 3 para colocar um pivô na segunda coluna: R_2 \leftrightarrow R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Elimino a segunda coluna da linha 4 subtraindo R_4 \leftarrow R_4 - R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Somando a linha 3 com a linha 4: R_4 \leftarrow R_4 + R_3 (isso dará uma linha zero):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplico a linha 3 por -1 para ter pivô positivo: R_3 \leftarrow -R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Elimino o termo acima do pivô da terceira coluna: R_1 \leftarrow R_1 - R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora a matriz está em forma escalonada: há pivôs nas colunas 1, 2 e 3; a coluna 4 não tem pivô.]

Passo 5

Interpretação dos resultados da eliminação:
  • O número de linhas não nulas (ou número de pivôs) é 3\). Logo \(\dim(W)=3\). - Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 3 da matriz original \(M\). Isso significa que as colunas 1, 2 e 3 são linearmente independentes. As colunas correspondem, respectivamente, às matrizes \(A,B,C\). Portanto \(\{A,B,C\}\) é um conjunto linearmente independente contido em \(W\). - A coluna 4 (matriz \(D\)) é combinação linear das três primeiras. Podemos encontrar explicitamente os coeficientes \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \(\alpha A+\beta B+\gamma C=D\). Usando as coordenadas (ou olhando para as operações já feitas) resolvemos: \[\alpha(1,1,0,0)+\beta(0,0,1,1)+\gamma(1,0,0,1)=(2,1,1,2).
Das componentes obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha+\gamma=2,\\[4pt] \alpha=1,\\[4pt] \beta=1,\\[4pt] \beta+\gamma=2. \end{cases}
Da segunda equação \alpha=1\]. Da primeira, \(\gamma=2-\alpha=1. Da terceira, \beta=1. A quarta é satisfeita: 1+1=2. Portanto
D = 1\cdot A + 1\cdot B + 1\cdot C.]

Passo 6

Conclusões finais e verificação:
  • \{A,B,C\} é um conjunto de três matrizes que gera W (porque D é combinação delas e A,B,C geram as três primeiras colunas por definição) e é linearmente independente. Logo é uma base de W.
  • Não existe base de W com mais de três vetores linearmente independentes (posto é 3), portanto \dim(W)=3.

Resposta

Uma base de W é \left\{\,A,\;B,\;C\,\right\}, ou seja,
\left\{\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}
e \dim(W)=3.]

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