Exercício 4.2. Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) gerado pelas matrizes: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes em M_{2\times2}(\mathbb{R}) e pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço W gerado por elas. As matrizes fornecidas são:
Encontrar uma base de W=\operatorname{span}\{A,B,C,D\}.
Determinar a dimensão de W.
Também temos implicitamente a informação de que W é o subespaço formado por todas as combinações lineares de A,B,C,D.]
Passo 2
Breve revisão didática (sem pular etapas) do que vamos usar.
Um conjunto de matrizes é uma base de um subespaço se (i) as matrizes são linearmente independentes e (ii) seu span é o subespaço. A dimensão é o número de vetores da base.
Para testar independência linear e calcular dimensão é prático identificar M_{2\times2}(\mathbb{R}) com \mathbb{R}^4 via a bijeção que transforma
Essa identificação preserva combinações lineares, então podemos trabalhar com vetores em \mathbb{R}^4: linearidade de matrizes vira linearidade de vetores de quatro coordenadas.
Uma maneira sistemática é colocar os vetores (coordenadas das matrizes) como colunas de uma matriz 4\times 4 e calcular o posto (número de colunas linearmente independentes) por eliminação de Gauss. As colunas pivô correspondem às matrizes independentes que podemos tomar como base.]
Passo 3
Passo concreto: escrever as coordenadas de A,B,C,D segundo a ordem (a,b,c,d) onde a matriz é \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}.
Para A=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} obtemos o vetor (1,1,0,0).
Para B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} obtemos o vetor (0,0,1,1).
Para C=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} obtemos o vetor (1,0,0,1).
Para D=\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]1&2\end{pmatrix} obtemos o vetor (2,1,1,2).
Agora montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas (coluna 1 = A, coluna 2 = B, coluna 3 = C, coluna 4 = D):
Agora a matriz está em forma escalonada: há pivôs nas colunas 1, 2 e 3; a coluna 4 não tem pivô.]
Passo 5
Interpretação dos resultados da eliminação:
O número de linhas não nulas (ou número de pivôs) é 3\). Logo \(\dim(W)=3\).
- Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 3 da matriz original \(M\). Isso significa que as colunas 1, 2 e 3 são linearmente independentes. As colunas correspondem, respectivamente, às matrizes \(A,B,C\). Portanto \(\{A,B,C\}\) é um conjunto linearmente independente contido em \(W\).
- A coluna 4 (matriz \(D\)) é combinação linear das três primeiras. Podemos encontrar explicitamente os coeficientes \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \(\alpha A+\beta B+\gamma C=D\). Usando as coordenadas (ou olhando para as operações já feitas) resolvemos:
\[\alpha(1,1,0,0)+\beta(0,0,1,1)+\gamma(1,0,0,1)=(2,1,1,2).
Da segunda equação \alpha=1\]. Da primeira, \(\gamma=2-\alpha=1. Da terceira, \beta=1. A quarta é satisfeita: 1+1=2. Portanto
D = 1\cdot A + 1\cdot B + 1\cdot C.]
Passo 6
Conclusões finais e verificação:
\{A,B,C\} é um conjunto de três matrizes que gera W (porque D é combinação delas e A,B,C geram as três primeiras colunas por definição) e é linearmente independente. Logo é uma base de W.
Não existe base de W com mais de três vetores linearmente independentes (posto é 3), portanto \dim(W)=3.
Resposta
Uma base de W é \left\{\,A,\;B,\;C\,\right\}, ou seja,