Exercício 3.3. Seja
. As coordenadas de
na base
são
. Encontre o vetor
(nas coordenadas padrão).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações claras:
-
. - A base
é . Ou seja, os vetores da base são e . - As coordenadas de
na base são
O que o problema pede: encontrar o vetor
nas coordenadas padrão (ou seja, escrever
como vetor em
com relação à base canônica).
Passo 2
O que significa ter as coordenadas
numa base
?
- Significa que
é a combinação linear
Aqui cada símbolo representa:
-
e são os vetores da base (cada um em ); -
e são escalares (as coordenadas) que multiplicam os vetores da base; - A operação
é a multiplicação escalar do vetor por ; - A soma
é a soma componente a componente dos dois vetores resultantes.
No nosso caso temose , e os vetores da base são e . Então
Passo 3
Calcular cada multiplicação escalar separadamente usando definição componente a componente:
- Multiplicando
por :
Agora efetue as multiplicações:
Logo a primeira parcela é
.
Passo 4
Calcular a segunda parcela, multiplicando
por
:
Efetuando:
Logo a segunda parcela é
.
Passo 5
Somar componente a componente as duas parcelas obtidas:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre escreva explicitamente os vetores da base
, pegue as coordenadas
, faça cada multiplicação escalar componente a componente e depois some componente a componente. É um procedimento mecânico que evita erros.