Exercício 3.3. Seja v \in \mathbb{R}^{2}. As coordenadas de v na base \mathcal{B}=\{(2,1),(1,0)\} são [v]_{\mathcal{B}}=\binom{3}{-2}. Encontre o vetor v (nas coordenadas padrão).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações claras:
  • v\in\mathbb{R}^2.
  • A base \mathcal{B} é \mathcal{B}=\{(2,1),(1,0)\}. Ou seja, os vetores da base são b_1=(2,1) e b_2=(1,0).
  • As coordenadas de v na base \mathcal{B} são
[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}.
O que o problema pede: encontrar o vetor v nas coordenadas padrão (ou seja, escrever v como vetor em \mathbb{R}^2 com relação à base canônica).

Passo 2

O que significa ter as coordenadas [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} numa base \mathcal{B}=\{b_1,b_2\}?
  • Significa que v é a combinação linear
v=\alpha\,b_1+\beta\,b_2.
Aqui cada símbolo representa:
  • b_1 e b_2 são os vetores da base (cada um em \mathbb{R}^2);
  • \alpha e \beta são escalares (as coordenadas) que multiplicam os vetores da base;
  • A operação \alpha b_1 é a multiplicação escalar do vetor b_1 por \alpha;
  • A soma \alpha b_1+\beta b_2 é a soma componente a componente dos dois vetores resultantes.
    No nosso caso temos \alpha=3 e \beta=-2, e os vetores da base são b_1=(2,1) e b_2=(1,0). Então
v = 3\,b_1 + (-2)\,b_2.

Passo 3

Calcular cada multiplicação escalar separadamente usando definição componente a componente:
  • Multiplicando b_1 por 3:
3\cdot(2,1) = (3\cdot 2,\;3\cdot 1).
Agora efetue as multiplicações:
3\cdot 2 = 6,\qquad 3\cdot 1 = 3.
Logo a primeira parcela é (6,3).

Passo 4

Calcular a segunda parcela, multiplicando b_2 por -2:
(-2)\cdot(1,0) = ((-2)\cdot 1,\;(-2)\cdot 0).
Efetuando:
(-2)\cdot 1 = -2,\qquad (-2)\cdot 0 = 0.
Logo a segunda parcela é (-2,0).

Passo 5

Somar componente a componente as duas parcelas obtidas:
  • Primeira componente: 6 + (-2) = 6-2 = 4.
  • Segunda componente: 3 + 0 = 3.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre escreva explicitamente os vetores da base b_1,b_2, pegue as coordenadas \alpha,\beta, faça cada multiplicação escalar componente a componente e depois some componente a componente. É um procedimento mecânico que evita erros.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}]

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