Exercício 3.5. Seja M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) a matriz de mudança da base \mathcal{B} para \mathcal{C} em \mathbb{R}^{2}. Se [v]_{\mathcal{B}}= \binom{4}{1}, determine [v]_{\mathcal{C}}.
Passo 1
O enunciado dá:
A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C} em \mathbb{R}^2 é
O que se pede: determinar as coordenadas de v na base \mathcal{C}, ou seja encontrar [v]_{\mathcal{C}}.]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): a coordenada de um vetor depende da base escolhida. Se \mathcal{B}=(b_1,b_2) e \mathcal{C}=(c_1,c_2), escrever [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} significa que
v = x\,b_1 + y\,b_2.
A matriz de mudança M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}. Em palavras: ela pega os coeficientes (x,y) que multiplicam os vetores da base \mathcal{B} e reescreve esse mesmo vetor v como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}.
Passo 3
Por que vale a fórmula [v]_{\mathcal{C}} = M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}? Detalhando:
Os vetores colunas da matriz M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} são as coordenadas, em \mathcal{C}, dos vetores da base \mathcal{B}. Ou seja, se escrevemos