Exercício 3.5. Seja M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) a matriz de mudança da base \mathcal{B} para \mathcal{C} em \mathbb{R}^{2}. Se [v]_{\mathcal{B}}= \binom{4}{1}, determine [v]_{\mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C} em \mathbb{R}^2 é
M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • As coordenadas de um vetor v na base \mathcal{B} são
[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar as coordenadas de v na base \mathcal{C}, ou seja encontrar [v]_{\mathcal{C}}.]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): a coordenada de um vetor depende da base escolhida. Se \mathcal{B}=(b_1,b_2) e \mathcal{C}=(c_1,c_2), escrever [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} significa que
v = x\,b_1 + y\,b_2.
A matriz de mudança M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}. Em palavras: ela pega os coeficientes (x,y) que multiplicam os vetores da base \mathcal{B} e reescreve esse mesmo vetor v como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}.

Passo 3

Por que vale a fórmula [v]_{\mathcal{C}} = M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}? Detalhando:
  • Os vetores colunas da matriz M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} são as coordenadas, em \mathcal{C}, dos vetores da base \mathcal{B}. Ou seja, se escrevemos
M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} [b_1]_{\mathcal{C}} & [b_2]_{\mathcal{C}} \end{pmatrix},
então, dado [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} com v=x b_1 + y b_2, temos
[v]_{\mathcal{C}} = x\,[b_1]_{\mathcal{C}} + y\,[b_2]_{\mathcal{C}} = M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Essa é a razão prática para multiplicar a matriz de mudança pelo vetor de coordenadas na base original.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os dados do enunciado. Escrevemos a multiplicação matricial:
[v]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos a primeira componente do produto (linha 1 vezes vetor coluna):
\text{primeira componente} = 1\cdot 4 + 2\cdot 1 = 4 + 2 = 6.

Passo 6

Calculamos a segunda componente do produto (linha 2 vezes vetor coluna):
\text{segunda componente} = 0\cdot 4 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.

Resposta

[v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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