Exercício 3.4. Considere as bases \mathcal{B}=\{u, v\} e \mathcal{C}=\{u+v, u-v\} de um espaço vetorial V. Calcule a matriz de mudança de base M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de um mesmo espaço vetorial V:
  • \mathcal{B}=\{u,v\},
  • \mathcal{C}=\{u+v,\;u-v\}.
Pede-se para calcular a matriz de mudança de base M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.

Passo 2

Primeiro, o que significa a matriz M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (explicação didática): ela é a matriz que converte coordenadas de vetores escritas na base \mathcal{C} em coordenadas na base \mathcal{B}. Em fórmulas:
[ w ]_{\mathcal{B}} = M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \,[ w ]_{\mathcal{C}}
para todo w\in V. Uma maneira prática de construir essa matriz é escrever cada vetor da base \mathcal{C} como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B}; as coordenadas dessas combinações formam as colunas de M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.

Passo 3

Vamos expressar os vetores de \mathcal{C} na base \mathcal{B}.
Para o primeiro vetor de \mathcal{C}:
u+v = 1\cdot u + 1\cdot v.
Logo, as coordenadas de u+v relativamente à base \mathcal{B}=\{u,v\} são
[\,u+v\,]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para o segundo vetor de \mathcal{C}:
u-v = 1\cdot u + (-1)\cdot v.
Logo, as coordenadas de u-v relativamente à base \mathcal{B} são
[\,u-v\,]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora montamos a matriz M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} colocando essas coordenadas como colunas, seguindo a ordem dos vetores em \mathcal{C} (primeira coluna para u+v, segunda para u-v). Assim:
M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Um pequeno cheque de sanidade (útil na prova): aplicar M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} ao vetor de coordenadas (1,0)^{T} em \mathcal{C} (que representa u+v) dá
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
que são exatamente as coordenadas de u+v na base \mathcal{B}. Isso confirma que a matriz está correta. Além disso, \det(M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}) = -2 \neq 0, então a matriz é invertível (como deve ser para uma mudança de base).]

Resposta

M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}]

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