Exercício 3.4. Considere as bases
e
de um espaço vetorial
. Calcule a matriz de mudança de base
.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de um mesmo espaço vetorial
:
-
, -
.
Pede-se para calcular a matriz de mudança de base
.
Passo 2
Primeiro, o que significa a matriz
(explicação didática): ela é a matriz que converte coordenadas de vetores escritas na base
em coordenadas na base
. Em fórmulas:
para todo
. Uma maneira prática de construir essa matriz é escrever cada vetor da base
como combinação linear dos vetores da base
; as coordenadas dessas combinações formam as colunas de
.
Passo 3
Vamos expressar os vetores de
na base
.
Para o primeiro vetor de
:
Logo, as coordenadas de
relativamente à base
são
Passo 4
Para o segundo vetor de
:
Logo, as coordenadas de
relativamente à base
são
Passo 5
Agora montamos a matriz
colocando essas coordenadas como colunas, seguindo a ordem dos vetores em
(primeira coluna para
, segunda para
). Assim:
Passo 6
Um pequeno cheque de sanidade (útil na prova): aplicar
ao vetor de coordenadas
em
(que representa
) dá
que são exatamente as coordenadas de
na base
. Isso confirma que a matriz está correta. Além disso,
, então a matriz é invertível (como deve ser para uma mudança de base).]