Exercício 9. Seja \varphi(u) uma função de classe C^{1} qualquer. Verifique se a função f(x, y)= x^{2} \varphi\left(\frac{x}{y}\right) é solução da equação de Euler
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=2 f .

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^{2}\,\varphi\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)
onde \varphi é C^{1}, e pede para verificar se
x\,\frac{\partial f}{\partial x}+y\,\frac{\partial f}{\partial y}=2\,f.
O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais e depois conferir a equação de Euler.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, note que t=\tfrac{x}{y} e use a regra do produto e da cadeia:
f(x,y)=x^{2}\,\varphi(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial x} =2x\,\varphi(t)+x^{2}\,\varphi'(t)\,\frac{\partial }{\partial x}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).
Como \tfrac{\partial}{\partial x}(x/y)=1/y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,\varphi\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) +\frac{x^{2}}{y}\,\varphi'\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, use novamente t=x/y e a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2}\,\varphi'(t)\,\frac{\partial }{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).
Como \tfrac{\partial}{\partial y}(x/y)=-x/y^{2}, segue
\frac{\partial f}{\partial y} =-\,\frac{x^{3}}{y^{2}}\,\varphi'\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).

Passo 4

Agora formamos
x\,\frac{\partial f}{\partial x} +y\,\frac{\partial f}{\partial y} =x\!\Bigl(2x\,\varphi+\tfrac{x^{2}}{y}\,\varphi'\Bigr) +y\!\Bigl(-\tfrac{x^{3}}{y^{2}}\,\varphi'\Bigr).
Distributivo e cancelamento:
=2x^{2}\,\varphi +\frac{x^{3}}{y}\,\varphi' -\frac{x^{3}}{y}\,\varphi' =2\,x^{2}\,\varphi =2\,f(x,y).
Logo a equação de Euler é satisfeita.

Resposta

A função f(x,y)=x^{2}\,\varphi\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) satisfaz
x\,\frac{\partial f}{\partial x}+y\,\frac{\partial f}{\partial y}=2\,f.

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