Exercício 9. Seja \varphi(u) uma função de classe C^{1} qualquer. Verifique se a função f(x, y)= x^{2} \varphi\left(\frac{x}{y}\right) é solução da equação de Euler
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=2 f .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^{2}\,\varphi\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)
e pede para verificar se ela satisfaz a equação de Euler
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=2\,f.
O conteúdo principal é: usar a regra da cadeia para calcular \partial f/\partial x e \partial f/\partial y e depois conferir que a combinação linear dada pela equação de Euler resulta em 2f.

Passo 2

Calcular \partial f/\partial x. Seja u=x/y, então f(x,y)=x^{2}\,\varphi(u). Aplicando a regra do produto e a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,\varphi(u)+x^{2}\,\varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \partial u/\partial x=1/y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,\varphi\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) +\frac{x^{2}}{y}\,\varphi'\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).

Passo 3

Calcular \partial f/\partial y. Novamente com u=x/y e regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2}\,\varphi'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \partial u/\partial y=-x/y^{2}, segue
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x^{3}}{y^{2}}\,\varphi'\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).

Passo 4

Formar x\,\partial f/\partial x + y\,\partial f/\partial y e simplificar:
x\frac{\partial f}{\partial x} =2x^{2}\,\varphi\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) +\frac{x^{3}}{y}\,\varphi'\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr),
y\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x^{3}}{y}\,\varphi'\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).
Somando:
x\frac{\partial f}{\partial x} +y\frac{\partial f}{\partial y} =2x^{2}\,\varphi\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) =\;2\,f(x,y).
Portanto a equação de Euler é satisfeita.

Resposta

A função f(x,y)=x^{2}\,\varphi\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) satisfaz
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=2\,f.

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