Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
f(x, y)=y \tan 2 x;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=y\tan(2x)
e pede as derivadas parciais de segunda ordem, além de verificar o Teorema de Schwarz (que exige que as derivadas mistas \partial^2 f/\partial x\partial y e \partial^2 f/\partial y\partial x sejam iguais).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e usamos
\frac{d}{dx}\tan(2x)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot 2.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\tan(2x)\bigr] = y\cdot 2\,\operatorname{sec}^2(2x) =2y\,\operatorname{sec}^2(2x).
Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} =\tan(2x).

Passo 3

Agora as segundas derivadas parciais envolvendo x:
Para \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, diferenciamos \frac{\partial f}{\partial x}=2y\,\operatorname{sec}^2(2x) em relação a x. Usamos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^2(2x) =2\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)\cdot 2 =4\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).
Portanto,
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =2y\cdot 4\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x) =8y\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).
Para \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, diferenciamos \frac{\partial f}{\partial x}=2y\,\operatorname{sec}^2(2x) em relação a y, vendo x como constante:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =2\,\operatorname{sec}^2(2x).

Passo 4

Agora as segundas derivadas parciais envolvendo y:
Para \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}, diferenciamos \frac{\partial f}{\partial y}=\tan(2x) em relação a x:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl[\tan(2x)\bigr] =2\,\operatorname{sec}^2(2x).
Para \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, diferenciamos \frac{\partial f}{\partial y}=\tan(2x) em relação a y, vendo x como constante:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =0.

Passo 5

Comparando as derivadas mistas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =2\,\operatorname{sec}^2(2x) \quad\text{e}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =2\,\operatorname{sec}^2(2x),
vemos que são iguais, como garante o Teorema de Schwarz (função C^2 em (x,y)).

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =8y\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =2\,\operatorname{sec}^2(2x).
O Teorema de Schwarz está verificado pois \partial^2 f/\partial x\partial y=\partial^2 f/\partial y\partial x.

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