Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem, além de verificar o Teorema de Schwarz (que exige que as derivadas mistas
e
sejam iguais).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para , tratamos
como constante e usamos
Para
Logo,
Para
, tratamos
como constante e obtemos
Passo 3
Agora as segundas derivadas parciais envolvendo
:
Para , diferenciamos
em relação a
. Usamos
Para
Portanto,
Para
, diferenciamos
em relação a
, vendo
como constante:
Passo 4
Agora as segundas derivadas parciais envolvendo
:
Para , diferenciamos
em relação a
:
Para
Para
, diferenciamos
em relação a
, vendo
como constante:
Passo 5
Comparando as derivadas mistas:
vemos que são iguais, como garante o Teorema de Schwarz (função
em
).
Resposta
O Teorema de Schwarz está verificado pois
.