Exercício 7 Sejam A5 times 3 in M5 times 3(R) de posto R^3 uma base de N(A)=0.
(a) Mostre que u1=A v1, u2=A v2.
(b) Mostre que se u3=A v3 e , então é L.I.

Passo 1

Nesse exercício temos uma matriz AinM5times3(R) de posto 3 e uma base v1,v2,v3 de R^3. Vamos precisar do Teorema do Posto e da Nulidade para caracterizar o núcleo de A e usar propriedades de transformações lineares para mostrar a independência linear dos vetores imagem.

Passo 2

Pelo Teorema do Posto e da Nulidade, para toda matriz A de tamanho 5times3 vale
rank(A)+nullity(A)=número de colunas=3 ú
Como rank(A)=3, então
nullity(A)=3-rank(A)=3-3=0
Nullity zero significa que ker(A)=0, ou seja, N(A)=0.

Passo 3

Agora para as imagens definimos ui=A vi para i=1,2,3. Precisamos mostrar que u1,u2,u3 é linearmente independente. Pegamos uma combinação linear qualquer:
c1u1+c2u2+c3u3=0
Substituindo ui=A vi, temos
A(c1v1+c2v2+c3v3)=0
Isso diz que x=c1v1+c2v2+c3v3 está em ker(A).

Passo 4

Como já demonstramos que ker(A)=0, segue que
c1v1+c2v2+c3v3=0
Mas v1,v2,v3 é base (logo é L.I.), então obrigatoriamente c1=c2=c3=0. Isso prova que u1,u2,u3 é linearmente independente.

Resposta

a) N(A)=0. b) u1,u2,u3 é linearmente independente.

Exercícios relacionados