Exercício 7 Sejam
de posto
uma base de
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que se
e
, então
é L.I.
(a) Mostre que
(b) Mostre que se
Passo 1
Nesse exercício temos uma matriz
de posto 3 e uma base
de
. Vamos precisar do Teorema do Posto e da Nulidade para caracterizar o núcleo de
e usar propriedades de transformações lineares para mostrar a independência linear dos vetores imagem.
Passo 2
Pelo Teorema do Posto e da Nulidade, para toda matriz
de tamanho
vale
Como
, então
Nullity zero significa que
, ou seja,
.
Passo 3
Agora para as imagens definimos
para
. Precisamos mostrar que
é linearmente independente. Pegamos uma combinação linear qualquer:
Substituindo
, temos
Isso diz que
está em
.
Passo 4
Como já demonstramos que
, segue que
Mas
é base (logo é L.I.), então obrigatoriamente
. Isso prova que
é linearmente independente.
Resposta
a)
. b)
é linearmente independente.