- (2,5 pontos) Considere o operador linear
, definido por
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços de
.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
dado por
Precisamos encontrar o polinômio característico de
, seus autovalores e os respectivos autoespaços. Para isso, vamos:
- Representar
pela matriz na base canônica. - Calcular o polinômio característico
. - Determinar as raízes (autovalores).
- Para cada autovalor
, resolver e achar uma base do autoespaço.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
Formamos
e calculamos o determinante:
Expandindo pela primeira linha:
Dentro do primeiro determinante,
O segundo determinante vale
Logo,
Isto é,
O polinômio característico monico é, portanto,
Passo 3
As raízes de
são os autovalores:
Passo 4
Para
Da segunda equação
, que coincide com
.
Logo um vetor geral do autoespaço é
Logo um vetor geral do autoespaço é
O autoespaço associado a
é
Passo 5
Para
, resolvemos
, i.e.
Da primeira linha vem
. Da terceira linha também
.
Da segunda linha reduz a
, ou seja
.
Assim os vetores são
Da segunda linha
Assim os vetores são
e o autoespaço de
é
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
Autoespaços: