A forma trigonométrica do complexo z=-1-i \sqrt{3} é
Escolha uma opção:
◯ a. \quad z=2\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{5 \pi}{3}\right).
◯ b. \quad z=2\left(\cos \frac{7 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{3}\right).
◯ C. z=2\left(\cos \frac{4 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{4 \pi}{3}\right).
◯ d. z=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{3}\right).
◯ e. \quad z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=-1-i\sqrt{3}\, e pergunta qual é a sua forma trigonométrica, oferecendo cinco alternativas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: \,x=-1\,.
  • Parte imaginária: \,y=-\sqrt{3}\,.
    A pergunta é: qual das alternativas corresponde à forma trigonométrica de \,z\,?

Passo 2

Vamos lembrar o que é a forma trigonométrica de um complexo. Para um número complexo \,z=x+iy\, definimos:
  • o módulo \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,, que é a distância do ponto (x,y) à origem;
  • o argumento \theta, que é o ângulo (medido a partir do eixo real positivo) tal que \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \operatorname{sen}\theta=\dfrac{y}{r}.
    A forma trigonométrica é
z = r\bigl(\cos\theta + i\,\operatorname{sen}\theta\bigr).

Passo 3

Calcular o módulo \,r\, para \,x=-1\, e \,y=-\sqrt{3}\,:
r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Então \,r=2\,.

Passo 4

Agora o argumento \theta. Primeiro calculo o ângulo de referência (valor positivo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}):
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|y|}{|x|}\right)=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\frac{\pi}{3}.
Como x<0 e y<0, o ponto (x,y) está no terceiro quadrante. Para o terceiro quadrante, o argumento principal pode ser escrito como
\theta=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.
(obs.: ângulos equivalentes são \theta+2k\pi, com k\in\mathbb{Z}; aqui escolhemos \tfrac{4\pi}{3} que fica entre \pi e 2\pi.)

Passo 5

Montando a forma trigonométrica com \,r=2\, e \,\theta=\tfrac{4\pi}{3}\,:
z=2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\,\operatorname{sen}\frac{4\pi}{3}\right).
Vamos verificar rapidamente os valores de cosseno e seno para confirmar:
\cos\frac{4\pi}{3}=-\tfrac{1}{2},\qquad \operatorname{sen}\frac{4\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando por 2 obtemos -1-i\sqrt{3}, que é exatamente \,z. Logo a forma está correta.

Resposta

c. z=2\left(\cos \frac{4 \pi}{3}+i \operatorname{sen} \frac{4 \pi}{3}\right)

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