Qual é o complexo cuja forma trigonométrica é 4(\cos (2 \pi / 3)+i \operatorname{sen}(2 \pi / 3)) ?
Escolha uma opção:
◯ a. -2+2 i
◯ b. 2 \sqrt{3}-2 i
◯ C. 2-2 \sqrt{3} i
◯ d. 2 \sqrt{3}+2 i
◯ e. -2+2 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo na forma trigonométrica \;4\bigl(\cos(2\pi/3)+i\operatorname{sen}(2\pi/3)\bigr)\; e pede identificar qual das alternativas corresponde a esse complexo. As alternativas (escritas aqui com os mesmos símbolos do enunciado) são:
\text{a. } -2+2i
\text{b. } 2\sqrt{3}-2i
\text{c. } 2-2\sqrt{3}\,i
\text{d. } 2\sqrt{3}+2i
\text{e. } -2+2\sqrt{3}\,i

Passo 2

Regra de conversão: um número complexo dado em forma trigonométrica \;r\bigl(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta\bigr)\; corresponde, na forma retangular (a + bi), ao número
r\cos\theta + i\,r\operatorname{sen}\theta.
Aqui r é o módulo (distância até a origem) e \theta é o argumento (ângulo no círculo unitário). Aplicando essa regra ao nosso caso temos r=4 e \theta=2\pi/3, então precisamos calcular \cos(2\pi/3) e \operatorname{sen}(2\pi/3).

Passo 3

Valor de \cos(2\pi/3) e \operatorname{sen}(2\pi/3): o ângulo 2\pi/3 está no segundo quadrante e tem ângulo de referência \pi/3 (porque 2\pi/3=\pi-\pi/3). Para \pi/3 vale \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \operatorname{sen}(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. No segundo quadrante o cosseno é negativo e o seno é positivo. Logo:
\cos(2\pi/3) = -\tfrac{1}{2},\qquad \operatorname{sen}(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Multiplicando pelo módulo r=4:
\text{parte real} = 4\cos(2\pi/3)=4\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2,
\text{parte imaginária} = 4\operatorname{sen}(2\pi/3)=4\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\sqrt{3}.á
Portanto o número complexo em forma retangular é
-2 + 2\sqrt{3}\,i.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa e.

Resposta

e. -2+2\sqrt{3}\,i

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