Exercício 1) Sendo \gamma=C_{P} faça um esboço de \gamma indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter -\gamma, nos seguintes casos:
P(t)=(1-3 t, 1+2 t), com t \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado dá a curva orientada \gamma=C_{P} em \mathbb{R}^2 parametrizada por
P(t) = (\,1 - 3t,\;1 + 2t\,),\quad t\in\mathbb{R},
e pede (a) um esboço indicando a direção do vetor velocidade e (b) uma reparametrização que inverta essa orientação, ou seja, obtenha -\gamma. O conteúdo principal é entender vetores diretores de retas e como trocar t por -t para inverter orientação.

Passo 2

Identificamos a reta: passa por P(0)=(1,1) e tem vetor diretor
\vec v = P'(t)=(-3,2).
Isso significa que à medida que t aumenta, movemo-nos na direção de \vec v=(-3,2). A inclinação da reta é \tfrac{2}{-3}=-\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Para esboçar, marcamos alguns pontos:
  • t=0 \;\Rightarrow P(0)=(1,1),
  • t=1 \;\Rightarrow P(1)=(-2,3),
  • t=-1 \;\Rightarrow P(-1)=(4,-1).
    Ligando esses pontos e desenhando uma flecha no sentido de (4,-1)\to(1,1)\to(-2,3), representamos \gamma.

Passo 4

Para inverter a orientação basta substituir t por -s. Definimos
\widetilde P(s) \;=\;P(-s) \;=\;\bigl(\,1 - 3(-s),\;1 + 2(-s)\bigr) \;=\;(1 + 3s,\;1 - 2s), \quad s\in\mathbb{R}.
O vetor diretor de \widetilde P é (3,-2), exatamente -\vec v, invertendo a flecha.

Resposta

A reparametrização que produz -\gamma é
\widetilde\gamma(s) =\bigl(1 + 3s,\;1 - 2s\bigr), \quad s\in\mathbb{R}.

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