Exercício 1) Sendo \gamma=C_{P} faça um esboço de \gamma indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter -\gamma, nos seguintes casos:
P(t)=(2+5 \cos t, 1-3 \cos t), com (i) t \in[0, \pi]; (ii) t \in[0,2 \pi];

Passo 1

O enunciado define a curva \gamma = C_{P} por
P(t) = \bigl(2+5\cos t,\;1-3\cos t\bigr)
e nos pede:
  1. Fazer um esboço da imagem de \gamma com a orientação dada pela variação de t.
  2. Reparametrizar para obter -\gamma, ou seja, a mesma curva com orientação invertida, nos casos
    (i) t\in[0,\pi] e
    (ii) t\in[0,2\pi].
O conteúdo é reparametrização de curvas e inversão de orientação: se \gamma(t) está em [a,b], então
-\gamma(s)=\gamma(a+b - s),\quad s\in[a,b]
é a mesma curva com a orientação trocada.

Passo 2

Caso (i): t\in[0,\pi].
  • Como \cos t decresce de 1 a -1, o ponto P(t) varia de
P(0)=(2+5\cdot1,\;1-3\cdot1)=(7,-2)
até
P(\pi)=(2+5\cdot(-1),\;1-3\cdot(-1))=(-3,4).
Logo a imagem é o segmento de reta de (7,-2) a (-3,4), orientado de (7,-2) para (-3,4).
  • Para inverter a orientação, tomo
Q(s)=P(\pi - s),\quad s\in[0,\pi].
Então
Q(s)=\bigl(2+5\cos(\pi-s),\;1-3\cos(\pi-s)\bigr) =\bigl(2-5\cos s,\;1+3\cos s\bigr),
e Q(0)=P(\pi)=(-3,4), Q(\pi)=P(0)=(7,-2), isto é, percorre o mesmo segmento de (-3,4) a (7,-2), que é -\gamma.

Passo 3

Caso (ii): t\in[0,2\pi].
  • Aqui \cos t vai de 1 a -1 (para t de 0 a \pi) e volta a 1 (para t de \pi a 2\pi). Assim P percorre o segmento (7,-2)\to(-3,4) e depois retorna (-3,4)\to(7,-2). É uma curva fechada não simples, mas ainda vale a regra de inversão de parâmetro.
  • Basta definir
Q(s)=P(2\pi - s),\quad s\in[0,2\pi].
Então Q segue exatamente o caminho inverso de P. Note que
Q(s)=\bigl(2+5\cos(2\pi - s),\;1-3\cos(2\pi - s)\bigr) =\bigl(2+5\cos s,\;1-3\cos s\bigr),
ou seja, a fórmula fica igual, mas a aplicação s\mapsto2\pi - s inverte a orientação de toda a curva fechada.

Resposta

(i) Para t\in[0,\pi], -\gamma está dado por
Q(s)=\Bigl(2-5\cos s,\;1+3\cos s\Bigr),\quad s\in[0,\pi].
(ii) Para t\in[0,2\pi], -\gamma está dado por
Q(s)=P(2\pi - s) =\Bigl(2+5\cos s,\;1-3\cos s\Bigr),\quad s\in[0,2\pi].

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