Exercício 1) Sendo
faça um esboço de
indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter
, nos seguintes casos:
, com (i)
; (ii)
;
Passo 1
O enunciado define a curva
por
e nos pede:
- Fazer um esboço da imagem de
com a orientação dada pela variação de . - Reparametrizar para obter
, ou seja, a mesma curva com orientação invertida, nos casos
(i)e
(ii).
O conteúdo é reparametrização de curvas e inversão de orientação: se
está em
, então
é a mesma curva com a orientação trocada.
Passo 2
Caso (i):
.
- Como
decresce de a , o ponto varia de
até
Logo a imagem é o segmento de reta de
a
, orientado de
para
.
- Para inverter a orientação, tomo
Então
e
,
, isto é, percorre o mesmo segmento de
a
, que é
.
Passo 3
Caso (ii):
.
- Aqui
vai de a (para de a ) e volta a (para de a ). Assim percorre o segmento e depois retorna . É uma curva fechada não simples, mas ainda vale a regra de inversão de parâmetro. - Basta definir
Então
segue exatamente o caminho inverso de
. Note que
ou seja, a fórmula fica igual, mas a aplicação
inverte a orientação de toda a curva fechada.
Resposta
(i) Para
,
está dado por
(ii) Para
,
está dado por