Exercício 1) Sendo
faça um esboço de
indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter
, nos seguintes casos:
, com (i)
; (ii)
;
Passo 1
O enunciado define
com
e pede (a) um esboço de
indicando a orientação dada por
e (b) uma reparametrização que produza
nos casos
(i)
(ii) .
O conteúdo aqui é curvas paramétricas e mudança de parâmetro para inverter orientação.
(i)
(ii)
O conteúdo aqui é curvas paramétricas e mudança de parâmetro para inverter orientação.
Passo 2
Para ver a forma da curva, façamos
logo
Portanto o traço de
é a reta
isto é, o semirreta que parte de
e segue para a direita.
Passo 3
Esboço e orientação:
Desenhe a reta e destaque apenas o trecho com
.
– Para a curva vai de
rumo ao infinito em
. Coloque uma seta saindo de
apontando para a direita.
– Para o semirreta é percorrido duas vezes: de
até
(da direita chegando em
) e depois de
para
(de
para a direita).
Desenhe a reta
– Para
– Para
Passo 4
Caso (i),
.
Para inverter a orientação definimos um novo parâmetro por
Para inverter a orientação definimos um novo parâmetro
de modo que, quando
cresce de
a
,
decresce de
a
. Assim a reparametrização
percorre o mesmo semirreta mas no sentido inverso, ou seja,
.
Passo 5
Caso (ii),
.
Basta trocar por
, com
. Defina
Basta trocar
Como
cresce,
decresce, inverte-se a orientação, obtendo-se
.
Resposta
(i)
(ii)
(ii)