Exercício 1) Sendo \gamma=C_{P} faça um esboço de \gamma indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter -\gamma, nos seguintes casos:
P(t)=\left(t^{2}-1,3 t^{2}+2\right), com (i) t \in[0,+\infty); (ii) t \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado define \gamma=C_{P} com
P(t)=\bigl(t^{2}-1,\;3t^{2}+2\bigr)
e pede (a) um esboço de \gamma indicando a orientação dada por t e (b) uma reparametrização que produza -\gamma nos casos
(i) t\in[0,\infty)
(ii) t\in\mathbb{R}.
O conteúdo aqui é curvas paramétricas e mudança de parâmetro para inverter orientação.

Passo 2

Para ver a forma da curva, façamos
x=t^{2}-1\implies t^{2}=x+1,
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y=3t^{2}+2=3(x+1)+2=3x+5.
Portanto o traço de \gamma é a reta
y=3x+5,\quad x\ge -1,
isto é, o semirreta que parte de (-1,2) e segue para a direita.

Passo 3

Esboço e orientação:
Desenhe a reta y=3x+5 e destaque apenas o trecho com x\ge -1.
– Para t\in[0,\infty) a curva vai de P(0)=(-1,2) rumo ao infinito em x. Coloque uma seta saindo de (-1,2) apontando para a direita.
– Para t\in\mathbb{R} o semirreta é percorrido duas vezes: de t=-\infty até t=0 (da direita chegando em (-1,2)) e depois de t=0 para +\infty (de (-1,2) para a direita).

Passo 4

Caso (i), t\in[0,\infty).
Para inverter a orientação definimos um novo parâmetro s>0 por
t=\frac1s,
de modo que, quando s cresce de 0 a +\infty, t=1/s decresce de +\infty a 0. Assim a reparametrização
Q(s)=P\bigl(1/s\bigr) =\bigl((1/s)^{2}-1,\;3(1/s)^{2}+2\bigr), \quad s\in(0,\infty)
percorre o mesmo semirreta mas no sentido inverso, ou seja, -\gamma.

Passo 5

Caso (ii), t\in\mathbb{R}.
Basta trocar t por -s, com s\in\mathbb{R}. Defina
R(s)=P(-s) =\bigl((-s)^{2}-1,\;3(-s)^{2}+2\bigr) =\bigl(s^{2}-1,\;3s^{2}+2\bigr), \quad s\in\mathbb{R}.
Como s cresce, -s decresce, inverte-se a orientação, obtendo-se -\gamma.

Resposta

(i) \displaystyle Q(s)=\bigl((1/s)^{2}-1,\;3(1/s)^{2}+2\bigr),\\ s\in(0,\infty).
(ii) \displaystyle R(s)=\bigl(s^{2}-1,\;3s^{2}+2\bigr),\\ s\in\mathbb{R}.

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