Exercício 1.2.5 Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 3 & -3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
j) A^{2}+3 A B;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A^{2} + 3\,A\,B
onde
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 2 & -3 & -5\\\\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} -2 & 1 & -2\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes, soma de matrizes e multiplicação de matriz por escalar. Vamos usar que, para matrizes compatíveis, o produto C=MN tem entradas
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}m_{ik}\,n_{kj},
e que a soma e a multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada.

Passo 2

Calcular A^2 = A\cdot A. Aplicando a fórmula de produto linha \times coluna, obtemos
A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -22\\\\ -3 & -2 & 36\\\\ 10 & -20 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular primeiro A B:
A B = \begin{pmatrix} 10 & 9 & -15\\\\ -17 & -14 & 23\\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Em seguida, multiplicar por 3:
3\,A B = \begin{pmatrix} 30 & 27 & -45\\\\ -51 & -42 & 69\\\\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Somar as matrizes A^2 e 3AB entrada a entrada:
A^2 + 3\,A B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -22\\\\ -3 & -2 & 36\\\\ 10 & -20 & -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 30 & 27 & -45\\\\ -51 & -42 & 69\\\\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 & 28 & -67\\\\ -54 & -44 & 105\\\\ 7 & -23 & -12 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{2} + 3\,A\,B = \begin{pmatrix} 32 & 28 & -67\\\\ -54 & -44 & 105\\\\ 7 & -23 & -12 \end{pmatrix}.

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