Exercício 0.6 Simplifique as expressões abaixo
2^{\frac{2}{3}} 2^{-\frac{1}{5}} 2^{\frac{4}{5}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
2^{\frac{2}{3}} 2^{-\frac{1}{5}} 2^{\frac{4}{5}}
Informações dadas:
\text{base: }2,\quad \text{expoentes: }\frac{2}{3},\; -\frac{1}{5},\; \frac{4}{5}.
Pedido: reduzir o produto a uma forma mais simples (uma única potência ou forma equivalente).

Passo 2

Regra que vamos usar (não se assusta — é simples): quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes. Em fórmulas:
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
Aqui a é a base comum (um número qualquer), m e n são expoentes (podem ser inteiros, fracionários ou negativos). Exemplo concreto para fixar a ideia:
3^{2}\cdot 3^{3}=3^{2+3}=3^{5}.
A ideia é a mesma com frações nos expoentes: somamos os expoentes.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso produto de potências com base 2:
2^{\frac{2}{3}} 2^{-\frac{1}{5}} 2^{\frac{4}{5}} = 2^{\frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{5}\right) + \frac{4}{5}}.

Passo 4

Agora somamos os expoentes passo a passo. Primeiro simplifico os dois últimos:
-\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=\frac{3}{5}.
Então fica
\frac{2}{3}+\frac{3}{5}.
Para somar frações usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 3 e 5, que é 15. Converto cada fração:
\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15},\qquad \frac{3}{5}=\frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{9}{15}.
Somando:
\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}.

Passo 5

Substituindo de volta no expoente:
2^{\frac{2}{3}} 2^{-\frac{1}{5}} 2^{\frac{4}{5}} = 2^{\frac{19}{15}}.
Podemos também escrever essa potência como potência mista:
\frac{19}{15}=1+\frac{4}{15}\quad\Rightarrow\quad 2^{\frac{19}{15}}=2^{1+\frac{4}{15}}=2\cdot 2^{\frac{4}{15}}.

Resposta

2^{\frac{19}{15}}
2\cdot 2^{\frac{4}{15}}

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