Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
\left(5^{\sqrt{2}+\sqrt{3}} / 25^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{5^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{25^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}\right)^{\sqrt{3}}.
Informações dadas: a base 5 aparece no numerador, no denominador há 25 que é potência de 5, e a expressão inteira está elevada à potência \sqrt{3}. A tarefa é reduzir isso a uma forma mais simples usando regras de potência.

Passo 2

Vamos recordar e explicar as regras de potências que vamos usar (sem pular etapas):
\text{(i)}\quad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},
ou seja, para a mesma base a subtrai-se os expoentes. Aqui a é um número positivo, m e n são expoentes quaisquer.
\text{(ii)}\quad (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n},
ou seja, ao elevar uma potência a outra potência, multiplicam-se os expoentes.
\text{(iii)}\quad (a^{b})^{c} = a^{b c},
é a mesma coisa que (ii). E finalmente, para radicais multiplicados,
\text{(iv)}\quad \sqrt{p}\cdot\sqrt{q}=\sqrt{pq},
quando p,q\ge0. Exemplo rápido: \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}.

Passo 3

Primeiro substituímos 25 por 5^{2}, porque isso permite usar a regra (i). Então escrevemos:
25^{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = (5^{2})^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}.
Pela regra (ii) isso é
(5^{2})^{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = 5^{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}.
Agora a fração dentro do parêntese tem a mesma base 5, então aplicamos (i):
\frac{5^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{5^{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}} = 5^{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) - 2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}.

Passo 4

Vamos simplificar o expoente no passo anterior com contas detalhadas:
(\sqrt{2}+\sqrt{3}) - 2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{2}+\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}.
Agrupando termos semelhantes:
\sqrt{2}-2\sqrt{2} = -\sqrt{2},\qquad \sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Logo o expoente fica
3\sqrt{3} - \sqrt{2},
e a expressão dentro do parêntese é
5^{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora elevamos essa potência à \sqrt{3}. Pela regra (ii)/(iii):
\left(5^{3\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}} = 5^{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{3}}.
Multiplicamos os termos no expoente separadamente. Para 3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} usamos \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{9}=3, então
3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3\cdot 3 = 9.
Para -\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} usamos a regra (iv):
-\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = -\sqrt{6}.
Portanto o expoente total é
9 - \sqrt{6},
e a expressão simplificada final é
5^{9-\sqrt{6}}.

Resposta

5^{9-\sqrt{6}}

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