Exercício 0.5 Calcule o valor de
Sugestão: Multiplique a equação acima por
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O enunciado ainda sugere multiplicar a expressão por
Passo 2
Vamos reescrever o numerador usando a definição de fatorial. Lembre que, para inteiro positivo
,
Assim, o produto dos termos de
até
é a razão entre
e
, porque
logo
Passo 3
Agora vamos escrever o denominador
em termos de fatoriais. Observe que o produto de todos os inteiros de
a
pode ser escrito como o produto dos pares (números pares) vezes o produto dos ímpares:
O produto dos números pares até
é
Isolando o produto dos ímpares obtemos a identidade (essa é uma fórmula útil: os ímpares até
aparecem em dupla com os pares em
):
Passo 4
Substituímos as expressões obtidas para numerador e denominador na definição de
. Temos
Passo 5
Agora simplificamos a expressão fracionária passo a passo. Escrevendo o quociente como produto:
Cancele
no numerador com
no denominador, e cancele
também:
Passo 6
Para fixar a ideia, veja um exemplo pequeno (mesmo raciocínio, com
): com
teríamos
o que confirma que a fórmula geral dá
quando o produto vai de
a
sobre os ímpares até
. No nosso caso
, então o resultado é
.