Exercício 0.5 Calcule o valor de
A=\frac{1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot \ldots \cdot 2000}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 1999}
Sugestão: Multiplique a equação acima por \frac{2^{1000} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1000}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2000}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
A=\frac{1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot \ldots \cdot 2000}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 1999}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador} = 1001\cdot1002\cdots2000,
\text{denominador} = 1\cdot3\cdot5\cdots1999 = \prod_{k=1}^{1000}(2k-1).
O enunciado ainda sugere multiplicar a expressão por
\frac{2^{1000}\cdot 1\cdot2\cdot3\cdots1000}{2\cdot4\cdot6\cdots2000}.

Passo 2

Vamos reescrever o numerador usando a definição de fatorial. Lembre que, para inteiro positivo n,
n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n.
Assim, o produto dos termos de 1001 até 2000 é a razão entre 2000! e 1000!, porque
2000! = 1\cdot2\cdots1000\cdot1001\cdots2000,
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1001\cdot1002\cdots2000=\frac{2000!}{1000!}.

Passo 3

Agora vamos escrever o denominador 1\cdot3\cdot5\cdots1999 em termos de fatoriais. Observe que o produto de todos os inteiros de 1 a 2000 pode ser escrito como o produto dos pares (números pares) vezes o produto dos ímpares:
2000!=(1\cdot3\cdot5\cdots1999)\,(2\cdot4\cdot6\cdots2000).
O produto dos números pares até 2000 é
2\cdot4\cdot6\cdots2000 = 2^{1000}\,(1\cdot2\cdot3\cdots1000)=2^{1000}\cdot1000!.
Isolando o produto dos ímpares obtemos a identidade (essa é uma fórmula útil: os ímpares até 2n-1 aparecem em dupla com os pares em (2n)!):
1\cdot3\cdot5\cdots1999=\frac{2000!}{2^{1000}\cdot1000!}.

Passo 4

Substituímos as expressões obtidas para numerador e denominador na definição de A. Temos
A=\frac{1001\cdot1002\cdots2000}{1\cdot3\cdot5\cdots1999} =\frac{\dfrac{2000!}{1000!}}{\dfrac{2000!}{2^{1000}\cdot1000!}}.

Passo 5

Agora simplificamos a expressão fracionária passo a passo. Escrevendo o quociente como produto:
A=\frac{2000!}{1000!}\cdot\frac{2^{1000}\cdot1000!}{2000!}.
Cancele 2000! no numerador com 2000! no denominador, e cancele 1000! também:
A=2^{1000}.

Passo 6

Para fixar a ideia, veja um exemplo pequeno (mesmo raciocínio, com n=2): com n=2 teríamos
\frac{3\cdot4}{1\cdot3}=\frac{12}{3}=4=2^2,
o que confirma que a fórmula geral dá 2^n quando o produto vai de n+1 a 2n sobre os ímpares até 2n-1. No nosso caso n=1000, então o resultado é 2^{1000}.

Resposta

2^{1000}

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