Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas que vamos usar: temos potências de
e
com expoentes inteiros (positivos e negativos). Para que potências com expoente negativo façam sentido como frações, vamos assumir
e
. A tarefa é transformar essa expressão numa forma mais simples, preferivelmente com expoentes positivos.
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) as regras de potências que usaremos — explicadinhas, passo a passo:
- Regra “potência de potência”:
. Aqui cada fator dentro dos parênteses tem seu expoente multiplicado por .
Exemplo rápido:. - Regra “produto de potências de mesma base”:
. Soma-se os expoentes.
Exemplo:. - Regra “quociente de potências de mesma base”:
.
Exemplo:. - Regra de expoente negativo:
. Ter expoente negativo é o mesmo que inverter a base.
Exemplo:.
Usando essas regras de forma combinada conseguimos simplificar expressões com vários fatores e sinais de expoentes.
Passo 3
Aplicamos a regra “potência de potência” ao primeiro fator do numerador:
Agora multiplicamos os expoentes:
Passo 4
Aplicamos a mesma regra ao segundo fator do numerador:
Passo 5
Agora multiplicamos os dois fatores do numerador usando a regra do produto de potências (somar expoentes de mesma base):
Para :
.
Para :
.
Logo o numerador fica
Para
Para
Logo o numerador fica
Passo 6
Simplificamos o denominador aplicando “potência de potência”:
Passo 7
Agora dividimos o numerador pelo denominador usando a regra do quociente (subtrair expoentes): para cada base fazemos expoente do numerador menos expoente do denominador.
Para : expoente final
, logo
.
Para : expoente final
, logo
.
Portanto a expressão inteira fica
Para
Para
Portanto a expressão inteira fica
Passo 8
Queremos normalmente expoentes positivos, então reescrevemos
como
. Assim:
Lembrete: isso está válido para
.