Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\frac{\left(a^{3} b^{-2}\right)^{-2}\left(a b^{-2}\right)^{3}}{\left(a^{-1} b^{2}\right)^{-3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\left(a^{3} b^{-2}\right)^{-2}\left(a b^{-2}\right)^{3}}{\left(a^{-1} b^{2}\right)^{-3}}.
Informações dadas que vamos usar: temos potências de a e b com expoentes inteiros (positivos e negativos). Para que potências com expoente negativo façam sentido como frações, vamos assumir a\neq 0 e b\neq 0. A tarefa é transformar essa expressão numa forma mais simples, preferivelmente com expoentes positivos.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) as regras de potências que usaremos — explicadinhas, passo a passo:
  • Regra “potência de potência”: (x^{m})^{n} = x^{m\cdot n}. Aqui cada fator dentro dos parênteses tem seu expoente multiplicado por n.
    Exemplo rápido: (2^{3})^{2}=2^{3\cdot2}=2^{6}=64.
  • Regra “produto de potências de mesma base”: x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}. Soma-se os expoentes.
    Exemplo: 2^{3}\cdot 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}=128.
  • Regra “quociente de potências de mesma base”: \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
    Exemplo: \dfrac{2^{5}}{2^{2}}=2^{5-2}=2^{3}=8.
  • Regra de expoente negativo: x^{-m}=\dfrac{1}{x^{m}}. Ter expoente negativo é o mesmo que inverter a base.
    Exemplo: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
Usando essas regras de forma combinada conseguimos simplificar expressões com vários fatores e sinais de expoentes.

Passo 3

Aplicamos a regra “potência de potência” ao primeiro fator do numerador:
\left(a^{3} b^{-2}\right)^{-2} = a^{3\cdot(-2)} b^{-2\cdot(-2)}.
Agora multiplicamos os expoentes:
a^{3\cdot(-2)} b^{-2\cdot(-2)} = a^{-6} b^{4}.

Passo 4

Aplicamos a mesma regra ao segundo fator do numerador:
\left(a b^{-2}\right)^{3} = a^{1\cdot 3} b^{-2\cdot 3} = a^{3} b^{-6}.

Passo 5

Agora multiplicamos os dois fatores do numerador usando a regra do produto de potências (somar expoentes de mesma base):
Para a: a^{-6}\cdot a^{3} = a^{-6+3} = a^{-3}.
Para b: b^{4}\cdot b^{-6} = b^{4+(-6)} = b^{-2}.
Logo o numerador fica
a^{-3} b^{-2}.

Passo 6

Simplificamos o denominador aplicando “potência de potência”:
\left(a^{-1} b^{2}\right)^{-3} = a^{-1\cdot(-3)} b^{2\cdot(-3)} = a^{3} b^{-6}.

Passo 7

Agora dividimos o numerador pelo denominador usando a regra do quociente (subtrair expoentes): para cada base fazemos expoente do numerador menos expoente do denominador.
Para a: expoente final =-3-3=-6, logo a^{-6}.
Para b: expoente final =-2-(-6)=-2+6=4, logo b^{4}.
Portanto a expressão inteira fica
a^{-6} b^{4}.

Passo 8

Queremos normalmente expoentes positivos, então reescrevemos a^{-6} como \dfrac{1}{a^{6}}. Assim:
a^{-6} b^{4} = \frac{b^{4}}{a^{6}}.
Lembrete: isso está válido para a\neq 0.

Resposta

\dfrac{b^{4}}{a^{6}}

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