Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\left(\frac{a^{4} b^{3}}{a^{2} b}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{a^{4} b^{3}}{a^{2} b}\right)^{5}.
Informações dadas: dentro do parêntese há um quociente de potências com as mesmas bases a e b. Para que as divisões façam sentido assumimos implicitamente a\neq0 e b\neq0. O objetivo é reescrever a expressão de forma mais simples, usando as regras de potenciação.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as regras de potências que usaremos (aqui cada letra representa uma base qualquer, e m,n,p são expoentes inteiros positivos para este problema):
\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m-n},
isto significa que ao dividir potências com a mesma base subtraímos os expoentes. Exemplo: \frac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}=2^{2}=4.
(xy)^{p} = x^{p}y^{p},
isto quer dizer que uma potência de um produto é o produto das potências. Exemplo: (2\cdot3)^{2}=6^{2}=36 e 2^{2}\cdot3^{2}=4\cdot9=36.
(x^{m})^{p} = x^{m\cdot p},
ou seja, potência de potência multiplica os expoentes. Exemplo: (2^{3})^{4}=2^{3\cdot4}=2^{12}.
Usaremos essas três regras em sequência: primeiro simplificamos o quociente dentro do parêntese aplicando a primeira regra, depois aplicamos a segunda e terceira regra ao elevar o resultado à quinta potência.

Passo 3

Aplicando a regra da divisão de potências separadamente para as bases a e b dentro do parêntese:
Para a:
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{4-2} = a^{2}.
Para b (observe que b no denominador é b^{1}):
\frac{b^{3}}{b} = \frac{b^{3}}{b^{1}} = b^{3-1} = b^{2}.
Portanto o quociente dentro do parêntese simplifica para
\frac{a^{4} b^{3}}{a^{2} b} = a^{2} b^{2}.

Passo 4

Agora temos que elevar o resultado à quinta potência:
\left(a^{2} b^{2}\right)^{5}.
Usando a regra (xy)^{p}=x^{p}y^{p} obtemos
\left(a^{2} b^{2}\right)^{5} = (a^{2})^{5}\,(b^{2})^{5}.
Agora aplicamos (x^{m})^{p} = x^{m\cdot p} em cada fator:
(a^{2})^{5} = a^{2\cdot5} = a^{10},
(b^{2})^{5} = b^{2\cdot5} = b^{10}.
Multiplicando os resultados:
(a^{2})^{5}\,(b^{2})^{5} = a^{10} b^{10}.

Passo 5

Opcionalmente, podemos observar que como os expoentes ficaram iguais, a forma alternativa
a^{10} b^{10} = (ab)^{10}
é válida e às vezes mais compacta. Ambas representam a mesma simplificação final.

Resposta

\;a^{10} b^{10}

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