Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\left(a^{-1}+b^{-1}\right)(a+b)^{-1}

Passo 1

O problema dá a expressão \left(a^{-1}+b^{-1}\right)(a+b)^{-1} e pede para simplificá‑la. Informações relevantes que extraí do enunciado: a e b aparecem em expoentes -1, então para que tudo faça sentido precisamos que a\neq0, b\neq0 e também a+b\neq0 (porque aparece (a+b)^{-1}). A partir daqui vamos reescrever e simplificar passo a passo até obter uma forma mais simples.

Passo 2

Regra básica usada: um expoente negativo significa recíproco. Ou seja, para qualquer número não nulo x vale
x^{-1}=\frac{1}{x}.
Aplicando isso aos termos da expressão, reescrevo cada fator com frações:
\left(a^{-1}+b^{-1}\right)(a+b)^{-1}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\cdot\frac{1}{a+b}.
Explicando: troquei \;a^{-1} por \frac{1}{a}, \;b^{-1} por \frac{1}{b} e (a+b)^{-1} por \frac{1}{a+b}.

Passo 3

Agora vou somar as duas frações \frac{1}{a}+\frac{1}{b}. Para somar frações usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores (aqui ab serve como denominador comum). A soma fica
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}.
Explicando passo a passo: transformei \frac{1}{a} em \frac{b}{ab} multiplicando numerador e denominador por b; transformei \frac{1}{b} em \frac{a}{ab} multiplicando numerador e denominador por a; somei os numeradores obtendo a+b.

Passo 4

Substituo essa soma no produto com \frac{1}{a+b}:
\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\cdot\frac{1}{a+b}=\frac{a+b}{ab}\cdot\frac{1}{a+b}.
Agora temos um produto de duas frações. A regra de multiplicação de frações é multiplicar numeradores entre si e denominadores entre si:
\frac{a+b}{ab}\cdot\frac{1}{a+b}=\frac{(a+b)\cdot 1}{ab\cdot (a+b)}=\frac{a+b}{ab(a+b)}.

Passo 5

Podemos simplificar \frac{a+b}{ab(a+b)} cancelando o fator comum (a+b) no numerador e no denominador, desde que a+b\neq0 (por isso a restrição de domínio mencionada no Passo 1). Após o cancelamento obtemos
\frac{a+b}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab}.
Explicando: cancelar um fator comum significa dividir numerador e denominador por esse fator; aqui dividir por (a+b) deixa 1 no numerador e ab no denominador.

Passo 6

Verificação numérica simples para ganhar confiança. Tome a=2 e b=3 (cumprindo a\neq0,b\neq0,a+b\neq0). Calculamos diretamente:
\left(2^{-1}+3^{-1}\right)(2+3)^{-1}=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}\right)\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{6}.
E \tfrac{1}{ab}=\tfrac{1}{2\cdot3}=\tfrac{1}{6}. Então bate certinho com o resultado simbólico \tfrac{1}{ab}.

Passo 7

Resumo e observação final: usando a definição de expoente negativo (recíproco), soma de frações com denominador comum e cancelamento de fatores, reduzimos a expressão original para uma forma bem simples. Lembrete importante para a prova: sempre verifique as condições de existência (aqui a\neq0, b\neq0, a+b\neq0) antes de cancelar.

Resposta

\dfrac{1}{ab}

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