Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
\left(\frac{2^{\sqrt{27}} 8^{\sqrt{75}}}{4^{\sqrt{48}}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{2^{\sqrt{27}}\,8^{\sqrt{75}}}{4^{\sqrt{48}}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
Informações dadas que vamos usar: as bases 2,8,4 e os radicais \sqrt{27}, \sqrt{75}, \sqrt{48}. O objetivo é transformar e simplificar usando propriedades de potências e dos radicais até obter uma forma simples (ideally uma potência inteira de 2 ou um número).

Passo 2

Vamos primeiro simplificar os radicais. Para isso fatoramos os números dentro da raiz em quadrados completos quando possível e usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}.
\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3},
\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3},
\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.
Expliquei: ao escrever \sqrt{27}=\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3} eu extraio o fator quadrado ( 9) da raiz.

Passo 3

Reescrevo as bases 8 e 4 como potências de 2, porque assim todos os termos têm a mesma base e é mais fácil combinar expoentes:
8=2^3,\qquad 4=2^2.
Agora substituo tudo na expressão original:
\left(\frac{2^{3\sqrt{3}}\,(2^3)^{5\sqrt{3}}}{(2^2)^{4\sqrt{3}}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
Aqui usei a regra (a^b)^c = a^{bc} para transformar (2^3)^{5\sqrt{3}} e (2^2)^{4\sqrt{3}}.

Passo 4

Aplico (a^b)^c = a^{bc} nas potências que aparecem:
(2^3)^{5\sqrt{3}} = 2^{3\cdot 5\sqrt{3}} = 2^{15\sqrt{3}},
(2^2)^{4\sqrt{3}} = 2^{2\cdot 4\sqrt{3}} = 2^{8\sqrt{3}}.
Substituindo:
\left(\frac{2^{3\sqrt{3}}\,2^{15\sqrt{3}}}{2^{8\sqrt{3}}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}.

Passo 5

Agora uso as regras de soma/subtração de expoentes para produto/quociente de potências com mesma base: a^u a^v = a^{u+v} e \dfrac{a^u}{a^v}=a^{u-v}.
Soma no numerador:
2^{3\sqrt{3}}\,2^{15\sqrt{3}} = 2^{(3\sqrt{3}+15\sqrt{3})} = 2^{18\sqrt{3}}.
Dividindo pelo denominador:
\frac{2^{18\sqrt{3}}}{2^{8\sqrt{3}}}=2^{(18\sqrt{3}-8\sqrt{3})}=2^{10\sqrt{3}}.
Assim a expressão dentro dos parênteses ficou 2^{10\sqrt{3}}.

Passo 6

Falta aplicar o expoente externo \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Uso novamente (a^b)^c = a^{bc}:
\left(2^{10\sqrt{3}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2^{10\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}.
Multiplico os radicais no expoente: \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Portanto
10\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\cdot\frac{3}{2}=10\cdot 1{,}5=15.
Logo obtemos
2^{15}.

Passo 7

Se quisermos escrever o valor numérico, calculamos 2^{15}. Uso que 2^{10}=1024 e 2^5=32, então
2^{15}=2^{10}\cdot 2^5 = 1024\cdot 32 = 32768.

Resposta

2^{15}=32768

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